Para determinar un punto crítico de una función, igualamos su derivada a cero porque los puntos críticos son aquellos donde la función cambia su comportamiento, como pasar de aumentar a disminuir (o viceversa), o donde puede existir una horizontalidad en la gráfica. A continuación, se explica detalladamente el fundamento matemático detrás de este proceso:

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1. Definición de punto crítico

Un punto crítico de una función $f(x)$ es cualquier punto $c$ dentro del dominio de $f(x)$ donde:

• La derivada de la función se anula ($f'(c) = 0$).
• La derivada no existe ($f'(c)$ indefinida).

Nos enfocamos en el caso $f'(c) = 0$, ya que estos puntos son especialmente interesantes en el análisis del comportamiento de la función (máximos, mínimos, o puntos de inflexión).

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2. Geometría detrás de la derivada

La derivada de una función $f(x)$ en un punto $x$ representa la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto. Dependiendo del valor de la derivada:

• Si $f'(x) > 0$, la función es creciente en ese intervalo.
• Si $f'(x) < 0$, la función es decreciente en ese intervalo.
• Si $f'(x) = 0$, la pendiente de la tangente es horizontal, lo que puede indicar un cambio de comportamiento en la función.

Un punto donde $f'(x) = 0$ puede ser un:

1. Máximo local: La función pasa de crecer ($f'(x) > 0$) a decrecer ($f'(x) < 0$).
2. Mínimo local: La función pasa de decrecer ($f'(x) < 0$) a crecer ($f'(x) > 0$).
3. Punto de inflexión: La función no cambia de crecer a decrecer, pero aún tiene una tangente horizontal.

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3. Justificación matemática

El razonamiento para igualar la derivada a cero radica en analizar los extremos relativos y posibles cambios en el crecimiento de $f(x)$:

• Según el teorema de Fermat, si $f(x)$ tiene un extremo local (máximo o mínimo) en $c$, y $f'(x)$ existe, entonces $f'(c) = 0$.
• Esto se debe a que, en un extremo local, la función debe dejar de crecer o decrecer para "cambiar de dirección", lo que requiere que la pendiente sea horizontal ($f'(c) = 0$).

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4. ¿Por qué no basta con $f'(x) = 0$?

Aunque $f'(x) = 0$ es necesario para identificar un posible punto crítico, no es suficiente para determinar si es un máximo, mínimo, o punto de inflexión. Para clasificar el punto crítico, necesitamos herramientas adicionales como:

• Segunda derivada: Si $f''(c) > 0$, el punto es un mínimo; si $f''(c) < 0$, el punto es un máximo.
• Prueba de la primera derivada: Analizando el signo de $f'(x)$ antes y después del punto $c$.

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5. Conclusión

La razón por la cual igualamos la derivada a cero es porque los puntos donde $f'(x) = 0$ son los candidatos principales para identificar cambios importantes en el comportamiento de la función (máximos, mínimos, o inflexiones). Matemáticamente, esto proviene del hecho de que una pendiente horizontal implica una pausa en el cambio de crecimiento, lo que puede indicar un extremo local.

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¿Tienes alguna pregunta o necesitas un ejemplo práctico? Aquí hay 5 preguntas relacionadas para expandir este tema:

1. ¿Cómo se aplica la segunda derivada para clasificar puntos críticos?
2. ¿Qué ocurre si la derivada de la función no existe en un punto?
3. ¿Qué diferencias hay entre un punto crítico y un punto de inflexión?
4. ¿Cómo interpretar puntos críticos en un problema de optimización?
5. ¿Por qué el teorema de Fermat no aplica si $f'(x)$ no existe?

Tip: Al analizar funciones complejas, usar gráficas puede ayudarte a visualizar la relación entre la pendiente (derivada) y los puntos críticos.