Misal 𝑿 adalah vektor random 𝐾 ×
1 yang matriks kovariannya sama
dengan matriks identitas:
𝑉𝑎𝑟 𝑿 = 𝑰.
Kemudian diketahui vektor random Y:
𝒀 = 𝑨𝑿
Dimana 𝑨 adalah 𝐾 × 𝐾 matriks
konstan sedemikian hingga berlaku :
𝑨 × 𝑨
𝑇 = 𝑰. Tentukan matriks kovarian
dari 𝒀!

Diberikan bahwa 𝑿 adalah vektor random berukuran \( K \times 1 \) dengan matriks kovarian identitas \( \text{Var}(\mathbf{X}) = \mathbf{I} \), dan vektor random \( \mathbf{Y} \) didefinisikan sebagai:

\[
\mathbf{Y} = \mathbf{A} \mathbf{X}
\]

dengan \( \mathbf{A} \) adalah matriks konstanta berukuran \( K \times K \) yang memenuhi:

\[
\mathbf{A} \mathbf{A}^T = \mathbf{I}
\]

Kita ingin mencari matriks kovarian dari \( \mathbf{Y} \), yaitu \( \text{Var}(\mathbf{Y}) \).

### Langkah-langkah Penyelesaian

1. **Definisi Kovarian untuk Vektor Transformasi Linear:**

   Jika \( \mathbf{Y} = \mathbf{A} \mathbf{X} \), maka matriks kovarian dari \( \mathbf{Y} \), yaitu \( \text{Var}(\mathbf{Y}) \), dapat dihitung sebagai:

   \[
   \text{Var}(\mathbf{Y}) = \text{Var}(\mathbf{A} \mathbf{X}) = \mathbf{A} \, \text{Var}(\mathbf{X}) \, \mathbf{A}^T
   \]

2. **Substitusi Matriks Kovarian dari \( \mathbf{X} \):**

   Diketahui bahwa \( \text{Var}(\mathbf{X}) = \mathbf{I} \), sehingga:

   \[
   \text{Var}(\mathbf{Y}) = \mathbf{A} \mathbf{I} \mathbf{A}^T = \mathbf{A} \mathbf{A}^T
   \]

3. **Gunakan Kondisi Matriks \( \mathbf{A} \):**

   Diketahui bahwa \( \mathbf{A} \mathbf{A}^T = \mathbf{I} \), maka:

   \[
   \text{Var}(\mathbf{Y}) = \mathbf{I}
   \]

### Kesimpulan

Matriks kovarian dari vektor random \( \mathbf{Y} \) adalah matriks identitas \( \mathbf{I} \).

---

Apakah Anda ingin penjelasan lebih detail atau ada pertanyaan? Berikut adalah beberapa pertanyaan terkait yang mungkin menarik:

1. Apa itu matriks kovarian dan bagaimana cara menginterpretasikan hasilnya?
2. Mengapa kondisi \( \mathbf{A} \mathbf{A}^T = \mathbf{I} \) menunjukkan bahwa \( \mathbf{A} \) adalah matriks ortogonal?
3. Bagaimana cara menghitung matriks kovarian untuk transformasi non-linear dari vektor random?
4. Bagaimana peran matriks identitas dalam menentukan independensi dan variabilitas vektor random?
5. Apa aplikasi praktis dari konsep matriks kovarian dalam bidang statistik dan machine learning?

**Tip:** Jika sebuah matriks memenuhi \( \mathbf{A} \mathbf{A}^T = \mathbf{I} \), itu berarti kolom-kolom matriks tersebut adalah vektor-vektor ortonormal.

Misal 𝑿 adalah vektor random 𝐾 × 1 yang matriks kovariannya sama dengan matriks identitas: 𝑉𝑎𝑟 𝑿 = 𝑰. Kemudian diketahui vektor random Y: 𝒀 = 𝑨𝑿. Dimana 𝑨 adalah 𝐾 × 𝐾 matriks konstan sedemikian hingga berlaku: 𝑨 × 𝑨𝑇 = 𝑰. Tentukan matriks kovarian dari 𝒀!

Explore the calculation of the covariance matrix for the random vector Y = AX, where X has an identity covariance matrix and A is an orthogonal matrix. Detailed step-by-step explanation provided, suitable for undergraduate students learning linear algebra and probability theory.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation