Diberikan bahwa 𝑿 adalah vektor random berukuran $K \times 1$ dengan matriks kovarian identitas $\text{Var}(\mathbf{X}) = \mathbf{I}$, dan vektor random $\mathbf{Y}$ didefinisikan sebagai:

$\mathbf{Y} = \mathbf{A} \mathbf{X}$

dengan $\mathbf{A}$ adalah matriks konstanta berukuran $K \times K$ yang memenuhi:

$\mathbf{A} \mathbf{A}^T = \mathbf{I}$

Kita ingin mencari matriks kovarian dari $\mathbf{Y}$, yaitu $\text{Var}(\mathbf{Y})$.

Langkah-langkah Penyelesaian

1. Definisi Kovarian untuk Vektor Transformasi Linear:

   Jika $\mathbf{Y} = \mathbf{A} \mathbf{X}$, maka matriks kovarian dari $\mathbf{Y}$, yaitu $\text{Var}(\mathbf{Y})$, dapat dihitung sebagai:

   $\text{Var}(\mathbf{Y}) = \text{Var}(\mathbf{A} \mathbf{X}) = \mathbf{A} \, \text{Var}(\mathbf{X}) \, \mathbf{A}^T$

2. Substitusi Matriks Kovarian dari $\mathbf{X}$:

   Diketahui bahwa $\text{Var}(\mathbf{X}) = \mathbf{I}$, sehingga:

   $\text{Var}(\mathbf{Y}) = \mathbf{A} \mathbf{I} \mathbf{A}^T = \mathbf{A} \mathbf{A}^T$

3. Gunakan Kondisi Matriks $\mathbf{A}$:

   Diketahui bahwa $\mathbf{A} \mathbf{A}^T = \mathbf{I}$, maka:

   $\text{Var}(\mathbf{Y}) = \mathbf{I}$

Kesimpulan

Matriks kovarian dari vektor random $\mathbf{Y}$ adalah matriks identitas $\mathbf{I}$.

---

Apakah Anda ingin penjelasan lebih detail atau ada pertanyaan? Berikut adalah beberapa pertanyaan terkait yang mungkin menarik:

1. Apa itu matriks kovarian dan bagaimana cara menginterpretasikan hasilnya?
2. Mengapa kondisi $\mathbf{A} \mathbf{A}^T = \mathbf{I}$ menunjukkan bahwa $\mathbf{A}$ adalah matriks ortogonal?
3. Bagaimana cara menghitung matriks kovarian untuk transformasi non-linear dari vektor random?
4. Bagaimana peran matriks identitas dalam menentukan independensi dan variabilitas vektor random?
5. Apa aplikasi praktis dari konsep matriks kovarian dalam bidang statistik dan machine learning?

Tip: Jika sebuah matriks memenuhi $\mathbf{A} \mathbf{A}^T = \mathbf{I}$, itu berarti kolom-kolom matriks tersebut adalah vektor-vektor ortonormal.