Persamaan yang diberikan adalah:

$2u_t + u_x = -2u$

Untuk menyederhanakan dan menganalisis persamaan ini, kita dapat memperkenalkan pemisalan (substitusi) dengan perubahan variabel, yaitu mengubah variabel-variabel $x$ dan $t$ ke dalam sistem koordinat baru yang lebih sederhana, seperti $\xi$ dan $\tau$.

Mari kita coba substitusi berikut:

$\xi = x - ct$ $\tau = t$

di mana $c$ adalah konstanta yang akan kita tentukan berdasarkan persamaan yang ada.

Langkah substitusi:

1. Derivatif $u_t$ dalam variabel baru: $u_t = \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial u}{\partial \xi} \cdot \frac{\partial \xi}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial \tau} \cdot \frac{\partial \tau}{\partial t}$ Karena $\tau = t$ dan $\xi = x - ct$, maka: $u_t = -c \frac{\partial u}{\partial \xi} + \frac{\partial u}{\partial \tau}$

2. Derivatif $u_x$ dalam variabel baru: $u_x = \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial \xi} \cdot \frac{\partial \xi}{\partial x}$ Karena $\xi = x - ct$, maka: $u_x = \frac{\partial u}{\partial \xi}$

Substitusikan kedua hasil ini ke dalam persamaan asli $2u_t + u_x = -2u$:

$2(-c u_\xi + u_\tau) + u_\xi = -2u$

$-2c u_\xi + 2u_\tau + u_\xi = -2u$

$(2u_\tau - (2c - 1)u_\xi) = -2u$

Pemilihan nilai $c$:

Agar bentuk persamaan lebih sederhana, kita dapat memilih $c = \frac{1}{2}$ untuk menghilangkan koefisien dari turunan terhadap $\xi$:

$2u_\tau = -2u$

Sehingga, diperoleh persamaan diferensial yang lebih sederhana:

$u_\tau = -u$

Persamaan ini adalah persamaan diferensial biasa yang dapat dengan mudah diselesaikan.

Jawaban:

Dengan pemisalan $\xi = x - \frac{1}{2}t$ dan $\tau = t$, persamaan awal menjadi lebih sederhana dan dapat dipecahkan dengan lebih mudah.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan lain?

Berikut 5 pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara menyelesaikan persamaan diferensial $u_\tau = -u$?
2. Apa makna fisik dari perubahan koordinat $\xi$ dan $\tau$?
3. Bagaimana jika kita memilih nilai $c$ yang berbeda dari $\frac{1}{2}$?
4. Apa yang dimaksud dengan metode karakteristik dalam persamaan diferensial parsial?
5. Bagaimana jika ada kondisi awal yang diberikan, bagaimana pengaruhnya terhadap solusi?

Tip: Saat menyelesaikan persamaan diferensial parsial, penggunaan substitusi yang tepat dapat sangat menyederhanakan bentuk persamaan dan mempermudah proses penyelesaiannya.