2ut + ux = −2u, pemisalan xi dan tau apa?

Persamaan yang diberikan adalah:

\[
2u_t + u_x = -2u
\]

Untuk menyederhanakan dan menganalisis persamaan ini, kita dapat memperkenalkan pemisalan (substitusi) dengan perubahan variabel, yaitu mengubah variabel-variabel \(x\) dan \(t\) ke dalam sistem koordinat baru yang lebih sederhana, seperti \(\xi\) dan \(\tau\). 

Mari kita coba substitusi berikut:

\[
\xi = x - ct
\]
\[
\tau = t
\]

di mana \(c\) adalah konstanta yang akan kita tentukan berdasarkan persamaan yang ada.

### Langkah substitusi:
1. Derivatif \(u_t\) dalam variabel baru:
   \[
   u_t = \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial u}{\partial \xi} \cdot \frac{\partial \xi}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial \tau} \cdot \frac{\partial \tau}{\partial t}
   \]
   Karena \(\tau = t\) dan \(\xi = x - ct\), maka:
   \[
   u_t = -c \frac{\partial u}{\partial \xi} + \frac{\partial u}{\partial \tau}
   \]

2. Derivatif \(u_x\) dalam variabel baru:
   \[
   u_x = \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial \xi} \cdot \frac{\partial \xi}{\partial x}
   \]
   Karena \(\xi = x - ct\), maka:
   \[
   u_x = \frac{\partial u}{\partial \xi}
   \]

Substitusikan kedua hasil ini ke dalam persamaan asli \(2u_t + u_x = -2u\):

\[
2(-c u_\xi + u_\tau) + u_\xi = -2u
\]

\[
-2c u_\xi + 2u_\tau + u_\xi = -2u
\]

\[
(2u_\tau - (2c - 1)u_\xi) = -2u
\]

### Pemilihan nilai \(c\):

Agar bentuk persamaan lebih sederhana, kita dapat memilih \(c = \frac{1}{2}\) untuk menghilangkan koefisien dari turunan terhadap \(\xi\):

\[
2u_\tau = -2u
\]

Sehingga, diperoleh persamaan diferensial yang lebih sederhana:

\[
u_\tau = -u
\]

Persamaan ini adalah persamaan diferensial biasa yang dapat dengan mudah diselesaikan. 

### Jawaban:
Dengan pemisalan \(\xi = x - \frac{1}{2}t\) dan \(\tau = t\), persamaan awal menjadi lebih sederhana dan dapat dipecahkan dengan lebih mudah.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan lain?

Berikut 5 pertanyaan terkait:
1. Bagaimana cara menyelesaikan persamaan diferensial \(u_\tau = -u\)?
2. Apa makna fisik dari perubahan koordinat \(\xi\) dan \(\tau\)?
3. Bagaimana jika kita memilih nilai \(c\) yang berbeda dari \(\frac{1}{2}\)?
4. Apa yang dimaksud dengan metode karakteristik dalam persamaan diferensial parsial?
5. Bagaimana jika ada kondisi awal yang diberikan, bagaimana pengaruhnya terhadap solusi?

**Tip:** Saat menyelesaikan persamaan diferensial parsial, penggunaan substitusi yang tepat dapat sangat menyederhanakan bentuk persamaan dan mempermudah proses penyelesaiannya.

Explore the process of solving the partial differential equation 2ut + ux = −2u using a coordinate transformation with ξ = x - (1/2)t and τ = t. Learn how to simplify the equation through substitution and reduce it to an ordinary differential equation. Suitable for undergraduate students studying differential equations.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation