Math Problem Statement

Сделай треугольную форму матрицы 4х4 = 1 (3 4 -5 7) 2 ( 2 -3 3 -2) 3 ( 4 11 -13 16 ) 4 ( 7 -2 1 3 )

Solution

Чтобы превратить данную матрицу в треугольную форму, будем приводить её к верхнетреугольному виду с помощью элементарных преобразований строк. Исходная матрица:

3 & 4 & -5 & 7 \\ 2 & -3 & 3 & -2 \\ 4 & 11 & -13 & 16 \\ 7 & -2 & 1 & 3 \\ \end{pmatrix}$$ ### Шаги приведения к треугольному виду 1. **Обнулим элементы ниже первого элемента первой строки (элементы $$a_{21}$$, $$a_{31}$$, $$a_{41}$$)** Для этого выполним следующие операции: - $$R_2 = R_2 - \frac{2}{3} R_1$$ - $$R_3 = R_3 - \frac{4}{3} R_1$$ - $$R_4 = R_4 - \frac{7}{3} R_1$$ После выполнения этих операций, получим новую матрицу. 2. **Обнулим элементы ниже второго элемента второй строки (элементы $$a_{32}$$, $$a_{42}$$)** Для этого выполним следующие операции: - $$R_3 = R_3 - \frac{a_{32}}{a_{22}} R_2$$ - $$R_4 = R_4 - \frac{a_{42}}{a_{22}} R_2$$ Обновим матрицу. 3. **Обнулим элемент ниже третьего элемента третьей строки (элемент $$a_{43}$$)** Для этого выполним операцию: - $$R_4 = R_4 - \frac{a_{43}}{a_{33}} R_3$$ После выполнения этих шагов мы получим матрицу в верхнетреугольной форме. Сейчас выполню необходимые вычисления и представлю результат.import numpy as np # Define the matrix matrix = np.array([ [3, 4, -5, 7], [2, -3, 3, -2], [4, 11, -13, 16], [7, -2, 1, 3] ], dtype=float) # Step 1: Make elements below the first element of the first row zero matrix[1] = matrix[1] - (matrix[1, 0] / matrix[0, 0]) * matrix[0] matrix[2] = matrix[2] - (matrix[2, 0] / matrix[0, 0]) * matrix[0] matrix[3] = matrix[3] - (matrix[3, 0] / matrix[0, 0]) * matrix[0] # Step 2: Make elements below the second element of the second row zero matrix[2] = matrix[2] - (matrix[2, 1] / matrix[1, 1]) * matrix[1] matrix[3] = matrix[3] - (matrix[3, 1] / matrix[1, 1]) * matrix[1] # Step 3: Make the element below the third element of the third row zero matrix[3] = matrix[3] - (matrix[3, 2] / matrix[2, 2]) * matrix[2] matrixarray([[ 3.00000000e+00, 4.00000000e+00, -5.00000000e+00, 7.00000000e+00], [ 0.00000000e+00, -5.66666667e+00, 6.33333333e+00, -6.66666667e+00], [ 0.00000000e+00, 0.00000000e+00, 8.88178420e-16, 0.00000000e+00], [ 0.00000000e+00, 0.00000000e+00, 0.00000000e+00, 0.00000000e+00]])array([[ 3.00000000e+00, 4.00000000e+00, -5.00000000e+00, 7.00000000e+00], [ 0.00000000e+00, -5.66666667e+00, 6.33333333e+00, -6.66666667e+00], [ 0.00000000e+00, 0.00000000e+00, 8.88178420e-16, 0.00000000e+00], [ 0.00000000e+00, 0.00000000e+00, 0.00000000e+00, 0.00000000e+00]])successПосле выполнения всех шагов, наша матрица преобразована в верхнетреугольную форму: $$\begin{pmatrix} 3 & 4 & -5 & 7 \\ 0 & -5.67 & 6.33 & -6.67 \\ 0 & 0 & 8.88 \times 10^{-16} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$$ Эта матрица почти является верхнетреугольной, хотя из-за численных особенностей появляется небольшой округленный элемент, близкий к нулю, в позиции $$a_{33}$$. Хотите ли вы узнать больше о процессе преобразования или задать дополнительные вопросы? ### Дополнительные вопросы для исследования: 1. Как изменить данную матрицу в нижнетреугольную форму? 2. Какие преобразования потребуются для приведения матрицы к единичной форме? 3. Как использовать метод Гаусса для приведения любой матрицы к треугольной форме? 4. Что такое LU-разложение и как оно применяется к данной матрице? 5. Каковы особенности матриц с вырожденными строками, как в данном примере? #### Совет: В вычислениях с матрицами будьте внимательны к округлениям, поскольку они могут влиять на точность результата.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Matrix Algebra
Matrix Transformation
Upper Triangular Form

Formulas

Elementary Row Operations for Matrix Transformation

Theorems

Gaussian Elimination

Suitable Grade Level

Undergraduate Mathematics