Oto odpowiedzi na pytania z obrazka:

1. Pytanie 7: „Dany jest zbieżny szereg liczbowy $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ o wyrazach dodatnich. Jeżeli $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} < 1$, to szereg jest zbieżny.”

   Odpowiedź: Tak. To jest kryterium d'Alemberta, które mówi, że szereg zbiega, jeśli stosunek kolejnych wyrazów szeregowych jest mniejszy od 1.

2. Pytanie 8: „Dany jest szereg liczbowy $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n$, gdzie $(a_n)$ jest ciągiem rosnących wyrazów ujemnych. Wówczas jest on na pewno zbieżny.”

   Odpowiedź: Tak. Jest to przypadek kryterium Leibniza, które mówi, że szereg naprzemienny jest zbieżny, jeżeli ciąg bezwzględnych wartości wyrazów szeregu maleje do zera.

3. Pytanie 9: „Funkcja $f : [3, 9] \times [-1, 10] \to \mathbb{R}$ jest ciągła. Wówczas ciągła jest funkcja $x \mapsto f(x, 0)$.”

   Odpowiedź: Tak. Funkcja ciągła na zbiorze kartezjańskim zachowuje ciągłość względem każdego ze zmiennych, więc funkcja $x \mapsto f(x, 0)$ będzie również ciągła.

4. Pytanie 10: „Funkcja $f : [3, 9] \times [-1, 10] \to \mathbb{R}$ jest ciągła. Wówczas $\lim_{x \to 4, y \to 5} f(x,y) = f(4,5)$.”

   Odpowiedź: Tak. Jeżeli funkcja $f$ jest ciągła, to granica funkcji w punkcie $(4, 5)$ jest równa wartości funkcji w tym punkcie.

Czy chciałbyś więcej szczegółów lub masz pytania?

Dodatkowe pytania:

1. Jakie inne kryteria zbieżności szeregów istnieją oprócz kryterium d'Alemberta?
2. Czy szereg naprzemienny zawsze jest zbieżny, jeśli spełnia kryterium Leibniza?
3. Co to oznacza, że funkcja jest ciągła na zbiorze kartezjańskim?
4. Jakie są warunki ciągłości funkcji wielowymiarowej?
5. Jakie inne twierdzenia o granicach funkcji ciągłych są ważne?

Tip:

Użycie różnych kryteriów zbieżności szeregu, takich jak kryterium d'Alemberta czy kryterium Leibniza, pomaga w szybkim ustaleniu zbieżności szeregu bez konieczności wykonywania skomplikowanych obliczeń.