Pour montrer que les droites (AA′), (BB′) et (CC′) sont concourantes sauf si M est sur le cercle passant par les points $A_1$, $B_1$ et $C_1$, nous allons utiliser plusieurs propriétés géométriques, notamment la symétrie et les propriétés des cercles circonscrits.

1. Symétrie dans un triangle équilatéral : Soit $M$ un point quelconque du plan du triangle équilatéral $ABC$. Nous définissons les points $A'$, $B'$, et $C'$ comme étant les symétriques de $M$ par rapport aux côtés $BC$, $CA$, et $AB$ respectivement.

2. Propriétés de symétrie :

   • $A'$ est le symétrique de $M$ par rapport à $BC$. Cela signifie que la distance de $M$ à $BC$ est égale à la distance de $A'$ à $BC$ et que $BC$ est la médiatrice du segment $MA'$.
   • De manière similaire, $B'$ est le symétrique de $M$ par rapport à $CA$, et $C'$ est le symétrique de $M$ par rapport à $AB$.

3. Les droites (AA′), (BB′) et (CC′) sont concourantes : Pour montrer la concurrence des droites (AA′), (BB′) et (CC′), nous utilisons le théorème de Napoléon qui stipule que les symétriques d'un point par rapport aux côtés d'un triangle forment un autre triangle équilatéral. En fait, les réflexions de $M$ sur les côtés d'un triangle équilatéral $ABC$ forment un triangle équilatéral $A'B'C'$.

   Le centre de ce triangle équilatéral $A'B'C'$ est également le centre du cercle circonscrit de $A'B'C'$. Ce centre est appelé le point de Fermat ou le centre symédian du triangle $ABC$. Donc, les droites passant par un sommet du triangle $ABC$ et son symétrique (i.e., (AA′), (BB′), et (CC′)) se rencontrent en ce point, le centre de Fermat.

4. Cas particulier où M est sur le cercle passant par $A_1$, $B_1$ et $C_1$ :

   • Les points $A_1$, $B_1$ et $C_1$ sont les symétriques des sommets $A$, $B$ et $C$ par rapport aux côtés opposés $BC$, $CA$ et $AB$, respectivement. Ces points forment également un triangle équilatéral.

   • Si $M$ se trouve sur le cercle passant par $A_1$, $B_1$ et $C_1$, ce cercle est connu comme le cercle de Neuberg. En ce cas, les points $A'$, $B'$, et $C'$ deviennent alignés avec les points $A_1$, $B_1$ et $C_1$ respectivement.

   • Dans cette situation particulière, les droites (AA′), (BB′) et (CC′) ne seront pas nécessairement concourantes au même point (le centre de Fermat), mais sur le cercle de Neuberg.

En résumé, les droites (AA′), (BB′) et (CC′) sont concourantes sauf si $M$ est situé sur le cercle passant par $A_1$, $B_1$ et $C_1$. Ce cas particulier correspond au cercle de Neuberg où les symétries ne convergent pas au centre de Fermat mais sur le cercle.

Est-ce que vous souhaitez plus de détails ou avez-vous des questions ?

Voici 5 questions que vous pourriez poser :

1. Pouvez-vous expliquer le théorème de Napoléon plus en détail ?
2. Quelles sont les propriétés du point de Fermat dans un triangle équilatéral ?
3. Comment prouver géométriquement que les symétriques d'un point forment un triangle équilatéral ?
4. Quelles autres propriétés géométriques découlent du cercle de Neuberg ?
5. Comment calculer les coordonnées du centre de Fermat dans un triangle donné ?

Astuce : Lorsque vous travaillez avec des symétries dans des triangles équilatéraux, il est souvent utile d'utiliser les propriétés des rotations et des réflexions pour simplifier vos démonstrations.