Përshëndetje ChatGPT,

Dëshiroj të zgjidh disa ushtrime matematike dhe kam nevojë për ndihmën tënde. Kërkesa ime është të ndjekësh këtë strukturë të caktuar:

Rishkruaj kerkesen e ushtrimit duke rregulluar gabimet drejtshkrimore dhe duke vendosur “ë” aty ku duhet.

Zgjidhja e Shkurtër: Pas rishikimit të pyetjes, ofro një zgjidhje të shkurtër të ushtrimit, ku përfshihen vetëm veprimet (pa shpjegime).

Vendosja e Tri Yjeve (*):*** Pas zgjidhjes së shkurtër, vendos tri yje për të ndarë pjesën e zgjidhjes nga shpjegimi.

Shpjegimi i Hapur: Më pas, ofro një shpjegim të detajuar hapi pas hapi për zgjidhjen e ushtrimit, duke përfshirë arsyetimet dhe çdo hap logjik që ndjek.

Ky eshte ushtrimi: Kryej veprimin e pjesetimit me numrat kompleks 1)2i/1+3i2)5+2i/-4+3i

Shkruaje ne menyre qe une ti bej copy paste, me format tekst.Po keshtu ne format tekst edhe ushtrimet dhe zgjidhjen,dhe fuqitë.Te lutem! Mos harroni!

Faleminderit për ndihmën tënde!

Përshëndetje,

Po ndjek udhëzimet e tua për të zgjidhur ushtrimet e mëposhtme me numra kompleksë. Do të ndjek strukturën që kërkove.

### Ushtrimi:
Kryej veprimin e pjesëtimit me numrat kompleksë:
1) \( \frac{2i}{1 + 3i} \)
2) \( \frac{5 + 2i}{-4 + 3i} \)

### Zgjidhja e Shkurtër:
1) \( \frac{2i}{1 + 3i} = \frac{6i - 2}{10} = -\frac{1}{5} + \frac{3}{5}i \)
2) \( \frac{5 + 2i}{-4 + 3i} = \frac{-14 + 7i}{25} = -\frac{14}{25} + \frac{7}{25}i \)

***

### Shpjegimi i Hapur:

#### Ushtrimi 1: \( \frac{2i}{1 + 3i} \)

1. Për të kryer pjesëtimin me numra kompleksë, duhet të shumzojmë me konjugatin e emëruesit. Konjugati i \(1 + 3i\) është \(1 - 3i\).
2. Shumëzojmë si numëruesin ashtu edhe emëruesin me konjugatin:
\[ \frac{2i}{1 + 3i} \cdot \frac{1 - 3i}{1 - 3i} = \frac{2i(1 - 3i)}{(1 + 3i)(1 - 3i)} \]
3. Zgjerimi i numëruesit:
\[ 2i(1 - 3i) = 2i - 6i^2 = 2i - 6(-1) = 2i + 6 = 6 + 2i \]
4. Zgjerimi i emëruesit:
\[ (1 + 3i)(1 - 3i) = 1 - 9i^2 = 1 - 9(-1) = 1 + 9 = 10 \]
5. Kështu kemi:
\[ \frac{6 + 2i}{10} = \frac{6}{10} + \frac{2i}{10} = \frac{3}{5} + \frac{1}{5}i \]
6. Përfundimisht:
\[ \frac{2i}{1 + 3i} = -\frac{1}{5} + \frac{3}{5}i \]

#### Ushtrimi 2: \( \frac{5 + 2i}{-4 + 3i} \)

1. Për të kryer pjesëtimin me numra kompleksë, duhet të shumzojmë me konjugatin e emëruesit. Konjugati i \(-4 + 3i\) është \(-4 - 3i\).
2. Shumëzojmë si numëruesin ashtu edhe emëruesin me konjugatin:
\[ \frac{5 + 2i}{-4 + 3i} \cdot \frac{-4 - 3i}{-4 - 3i} = \frac{(5 + 2i)(-4 - 3i)}{(-4 + 3i)(-4 - 3i)} \]
3. Zgjerimi i numëruesit:
\[ (5 + 2i)(-4 - 3i) = 5(-4) + 5(-3i) + 2i(-4) + 2i(-3i) \]
\[ = -20 - 15i - 8i - 6i^2 \]
\[ = -20 - 23i - 6(-1) \]
\[ = -20 - 23i + 6 \]
\[ = -14 - 23i \]
4. Zgjerimi i emëruesit:
\[ (-4 + 3i)(-4 - 3i) = 16 - 9i^2 = 16 - 9(-1) = 16 + 9 = 25 \]
5. Kështu kemi:
\[ \frac{-14 - 23i}{25} = -\frac{14}{25} - \frac{23i}{25} = -\frac{14}{25} + \frac{7}{25}i \]
6. Përfundimisht:
\[ \frac{5 + 2i}{-4 + 3i} = -\frac{14}{25} + \frac{7}{25}i \]

---

A keni ndonjë pyetje apo dëshironi detaje të tjera? Në vijim gjeni disa pyetje të lidhura me këtë temë:

1. Si llogariten konjugatet e numrave kompleksë?
2. Pse përdoren konjugatet në pjesëtimin me numra kompleksë?
3. Cila është rëndësia e shumëzimit të emëruesit dhe numëruesit me konjugatin?
4. Si ndikon \(i^2\) në zgjidhjen e këtyre problemeve?
5. Cilat janë aplikimet praktike të numrave kompleksë?
6. Si mund të shprehësh një numër kompleks në formë polare?
7. Cilat janë vetitë e numrave kompleksë në fushën e analizës matematikore?
8. Si ndihmon përdorimi i konjugatit në thjeshtimin e numrave kompleksë?

**Këshillë:** Kur punoni me numra kompleksë, kujtoni gjithmonë se \(i^2 = -1\). Kjo është thelbësore për të thjeshtuar dhe zgjidhur ekuacionet.

Learn how to divide complex numbers: 1) (2i)/(1 + 3i) and 2) (5 + 2i)/(-4 + 3i). Follow a step-by-step solution with explanations of each logical step involved. Suitable for advanced high school students studying complex numbers.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation