пределить какое из этих выражений больше при достаточно больших 𝑛:
(a) ln2 𝑛 или 10 √𝑛?
(b) 200𝑛 или 0, 001𝑛2?
(c) 2𝑛 или 𝑛1000?
(d) 3𝑛 или 𝑛!?


Чтобы определить, какое из данных выражений будет больше при достаточно больших значениях \( n \), можно рассмотреть порядок роста этих функций, то есть насколько быстро они увеличиваются с ростом \( n \). Давайте разберем каждый случай отдельно.

### (a) \( \ln^2 n \) или \( 10 \sqrt{n} \)?

1. \( \ln^2 n \) растет медленнее, чем \( n \), поскольку это логарифмическая функция.
2. \( \sqrt{n} \) — это корень из \( n \), который растет медленнее, чем \( n \), но быстрее, чем \( \ln^2 n \).

Следовательно, при достаточно больших \( n \) выражение \( 10 \sqrt{n} \) будет больше, чем \( \ln^2 n \).

### Ответ: \( 10 \sqrt{n} \) больше при больших \( n \).

---

### (b) \( 200n \) или \( 0.001n^2 \)?

1. \( 200n \) — линейная функция, которая растет пропорционально \( n \).
2. \( 0.001n^2 \) — квадратичная функция, растущая пропорционально \( n^2 \).

При достаточно больших значениях \( n \) квадратичная функция \( 0.001n^2 \) будет расти быстрее, чем линейная \( 200n \), несмотря на меньший коэффициент перед \( n^2 \).

### Ответ: \( 0.001n^2 \) больше при больших \( n \).

---

### (c) \( 2^n \) или \( n^{1000} \)?

1. \( 2^n \) — экспоненциальная функция, растущая очень быстро по сравнению с любыми полиномами.
2. \( n^{1000} \) — полином степени 1000, который растет быстрее, чем линейные и квадратичные функции, но всё ещё медленнее, чем экспоненциальные функции.

При достаточно больших значениях \( n \) экспоненциальная функция \( 2^n \) будет значительно превышать \( n^{1000} \).

### Ответ: \( 2^n \) больше при больших \( n \).

---

### (d) \( 3^n \) или \( n! \)?

1. \( 3^n \) — экспоненциальная функция, растущая быстрее, чем любые полиномы, но медленнее, чем факториальные функции.
2. \( n! \) — факториальная функция, которая растет быстрее, чем экспоненциальные функции.

При больших \( n \) факториальная функция \( n! \) будет значительно превышать \( 3^n \).

### Ответ: \( n! \) больше при больших \( n \).

---

Эти ответы основаны на сравнении роста функций при предельных значениях \( n \).

---

Хотите разобрать какой-то пункт подробнее или задать дополнительные вопросы?

### Вопросы для дальнейшего изучения:
1. Как определить порядок роста функций с помощью асимптотического анализа?
2. Почему экспоненциальные функции превосходят любые полиномы при больших значениях \( n \)?
3. Какое значение имеет коэффициент перед функцией при сравнении порядка роста?
4. Как доказать, что \( n! \) растет быстрее, чем \( 3^n \)?
5. Что такое пределы функций, и как они применяются для анализа порядка роста?

### Совет:
При сравнении функций на больших \( n \) полезно использовать нотацию \( O \)-большое и анализировать темпы роста для быстрого определения, какая функция будет доминировать.

Определить какое из этих выражений больше при достаточно больших n: (a) ln^2 n или 10 √n? (b) 200n или 0.001n^2? (c) 2^n или n^1000? (d) 3^n или n!?

Analyze and compare growth rates of various mathematical functions for large n values, including logarithmic, polynomial, exponential, and factorial functions. Understand which functions dominate others as n becomes large, using concepts like asymptotic analysis and Big-O notation. Ideal for undergraduate mathematics or computer science students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation