Чтобы определить, какое из данных выражений будет больше при достаточно больших значениях $n$, можно рассмотреть порядок роста этих функций, то есть насколько быстро они увеличиваются с ростом $n$. Давайте разберем каждый случай отдельно.

(a) $\ln^2 n$ или $10 \sqrt{n}$?

1. $\ln^2 n$ растет медленнее, чем $n$, поскольку это логарифмическая функция.
2. $\sqrt{n}$ — это корень из $n$, который растет медленнее, чем $n$, но быстрее, чем $\ln^2 n$.

Следовательно, при достаточно больших $n$ выражение $10 \sqrt{n}$ будет больше, чем $\ln^2 n$.

Ответ: $10 \sqrt{n}$ больше при больших $n$.

---

(b) $200n$ или $0.001n^2$?

1. $200n$ — линейная функция, которая растет пропорционально $n$.
2. $0.001n^2$ — квадратичная функция, растущая пропорционально $n^2$.

При достаточно больших значениях $n$ квадратичная функция $0.001n^2$ будет расти быстрее, чем линейная $200n$, несмотря на меньший коэффициент перед $n^2$.

Ответ: $0.001n^2$ больше при больших $n$.

---

(c) $2^n$ или $n^{1000}$?

1. $2^n$ — экспоненциальная функция, растущая очень быстро по сравнению с любыми полиномами.
2. $n^{1000}$ — полином степени 1000, который растет быстрее, чем линейные и квадратичные функции, но всё ещё медленнее, чем экспоненциальные функции.

При достаточно больших значениях $n$ экспоненциальная функция $2^n$ будет значительно превышать $n^{1000}$.

Ответ: $2^n$ больше при больших $n$.

---

(d) $3^n$ или $n!$?

1. $3^n$ — экспоненциальная функция, растущая быстрее, чем любые полиномы, но медленнее, чем факториальные функции.
2. $n!$ — факториальная функция, которая растет быстрее, чем экспоненциальные функции.

При больших $n$ факториальная функция $n!$ будет значительно превышать $3^n$.

Ответ: $n!$ больше при больших $n$.

---

Эти ответы основаны на сравнении роста функций при предельных значениях $n$.

---

Хотите разобрать какой-то пункт подробнее или задать дополнительные вопросы?

Вопросы для дальнейшего изучения:

1. Как определить порядок роста функций с помощью асимптотического анализа?
2. Почему экспоненциальные функции превосходят любые полиномы при больших значениях $n$?
3. Какое значение имеет коэффициент перед функцией при сравнении порядка роста?
4. Как доказать, что $n!$ растет быстрее, чем $3^n$?
5. Что такое пределы функций, и как они применяются для анализа порядка роста?

Совет:

При сравнении функций на больших $n$ полезно использовать нотацию $O$-большое и анализировать темпы роста для быстрого определения, какая функция будет доминировать.