Pour tout entier naturel $n$, nous allons comparer les quantités $(n+1)!$ et $2^n$.

Analyse pour des petits entiers

Pour commencer, examinons les deux expressions pour quelques petites valeurs de $n$.

• $n = 0$ : $(0+1)! = 1! = 1 \quad \text{et} \quad 2^0 = 1 \quad \Rightarrow \quad (n+1)! = 2^n$

• $n = 1$ : $(1+1)! = 2! = 2 \quad \text{et} \quad 2^1 = 2 \quad \Rightarrow \quad (n+1)! = 2^n$

• $n = 2$ : $(2+1)! = 3! = 6 \quad \text{et} \quad 2^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad (n+1)! > 2^n$

• $n = 3$ : $(3+1)! = 4! = 24 \quad \text{et} \quad 2^3 = 8 \quad \Rightarrow \quad (n+1)! > 2^n$

Dès que $n \geq 2$, on remarque que $(n+1)! > 2^n$. Cette tendance semble se poursuivre.

Preuve par récurrence

Nous allons prouver par récurrence que, pour tout $n \geq 2$, $(n+1)! > 2^n$.

1. Initialisation : Pour $n = 2$, on a : $(2+1)! = 3! = 6 \quad \text{et} \quad 2^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad (n+1)! > 2^n.$

2. Hérédité : Supposons que pour un entier $n \geq 2$, on ait $(n+1)! > 2^n$. Nous devons montrer que $(n+2)! > 2^{n+1}$.

   • On sait que : $(n+2)! = (n+2) \times (n+1)!$
   • Par hypothèse de récurrence, $(n+1)! > 2^n$. Donc : $(n+2)! = (n+2) \times (n+1)! > (n+2) \times 2^n$
   • Comme $n+2 \geq 3$ pour $n \geq 2$, on a : $(n+2) \times 2^n \geq 3 \times 2^n = 2^{n+1} + 2^n$
   • Donc : $(n+2)! > 2^{n+1}.$

3. Conclusion : Par récurrence, on a prouvé que pour tout $n \geq 2$, $(n+1)! > 2^n$.

Conclusion

Pour tout $n \geq 2$, la quantité $(n+1)!$ est strictement supérieure à $2^n$. Pour $n = 0$ et $n = 1$, on a $(n+1)! = 2^n$.

Voulez-vous plus de détails ou avez-vous des questions ?

Questions associées :

1. Comment généraliser cette comparaison à d'autres fonctions exponentielles ou factorielles ?
2. Quelle est la vitesse de croissance respective de $(n+1)!$ et $2^n$ pour $n \to \infty$ ?
3. Comment cette comparaison change-t-elle si l'on remplace $2^n$ par $3^n$ ou $a^n$ ?
4. Pourquoi la méthode de récurrence est-elle efficace pour démontrer ce type d'inégalités ?
5. Quelles autres méthodes pourraient être utilisées pour comparer des fonctions comme $n!$ et $2^n$ ?

Tip :

La fonction factorielle $n!$ croît beaucoup plus rapidement que les fonctions exponentielles de la forme $a^n$, pour tout $a$ fixé.