Efectivamente, si $A$ y $B$ son matrices de tamaño $m \times n$ (es decir, matrices con $m$ filas y $n$ columnas) cuyos elementos pertenecen al conjunto de los números reales $\mathbb{R}$, entonces se cumple que:

$A + B = B + A$

Este es un propiedad conmutativa de la suma de matrices, que indica que el orden en el que se suman las matrices no afecta al resultado. Esta propiedad es análoga a la propiedad conmutativa de la suma de números reales.

Justificación:

Para matrices de tamaño $m \times n$, la suma de matrices $A + B$ se realiza sumando sus elementos correspondientes. Es decir, para cada entrada $a_{ij}$ de la matriz $A$ y $b_{ij}$ de la matriz $B$, se tiene:

$(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$ $(B + A)_{ij} = b_{ij} + a_{ij}$

Como la suma de números reales es conmutativa (es decir, $a_{ij} + b_{ij} = b_{ij} + a_{ij}$), se concluye que:

$(A + B)_{ij} = (B + A)_{ij}$

Por lo tanto, $A + B = B + A$, lo que demuestra la propiedad conmutativa de la suma de matrices.

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¿Te gustaría que te explique más detalles sobre esta propiedad o algún otro concepto relacionado con las matrices? Aquí te dejo algunas preguntas para seguir profundizando:

1. ¿Cuál es la diferencia entre la suma de matrices y la multiplicación de matrices?
2. ¿Cómo se define la multiplicación de matrices?
3. ¿Qué es la propiedad asociativa de la suma de matrices?
4. ¿Qué sucede si las matrices tienen dimensiones distintas?
5. ¿Qué es la matriz identidad y cómo se usa en la suma y multiplicación de matrices?

Tip: Cuando sumes matrices, asegúrate de que ambas matrices tengan exactamente el mismo tamaño (mismo número de filas y columnas).