Math Problem Statement
У Васи в кармане монеты достоинством 1, 2, 5, 10 рублей, причём каждого вида по б штук. Васе необходимо набрать ровно 94 рубля. Сколькими способами он может это сделать?
Solution
Для решения задачи определим, сколько способов есть у Васи набрать ровно 94 рубля с использованием монет номиналом 1, 2, 5 и 10 рублей, при этом каждого номинала имеется по штук.
Обозначим количество используемых монет номиналом:
- 1 рубль — ,
- 2 рубля — ,
- 5 рублей — ,
- 10 рублей — .
Тогда задача сводится к решению уравнения: при условии, что .
Решение:
Переберем все возможные значения (от 0 до ), так как каждая монета номиналом 10 рублей уменьшает требуемую сумму на 10 рублей:
-
Для каждого значения уравнение преобразуется к виду: Сумма справа должна оставаться неотрицательной, то есть: Таким образом, может принимать значения от 0 до .
-
Для каждого фиксированного перебираем значения (от 0 до ), так как каждая монета номиналом 5 рублей уменьшает требуемую сумму на 5 рублей: Здесь правая часть также должна быть неотрицательной: Максимальное значение ограничено сверху минимальным из двух значений: и .
-
Теперь для каждого фиксированного и решаем уравнение: Перебираем от 0 до , а однозначно определяется как: Условие должно выполняться.
Проходя по всем допустимым значениям , , и , подсчитаем количество решений, удовлетворяющих этим условиям.
Таким образом, перебор всех возможных комбинаций даст нам общее число способов набрать 94 рубля.
Хотите подробный алгоритм или примеры?
Вопросы для закрепления:
- Как изменится количество способов, если увеличить число монет каждого номинала?
- Каков будет ответ, если сумму нужно набрать не ровно, а не менее 94 рублей?
- Как решать аналогичные задачи, если добавить ограничения на количество монет конкретных номиналов?
- Можно ли решить эту задачу с помощью динамического программирования?
- Какой подход лучше использовать, если число монет очень велико?
Совет: Всегда проверяйте граничные условия и используйте методы упрощения задачи, такие как разбиение на подзадачи.
Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Combinatorics
Diophantine Equations
Integer Solutions
Formulas
x_1 + 2x_2 + 5x_3 + 10x_4 = 94
0 ≤ x_1, x_2, x_3, x_4 ≤ b
Theorems
Method of Exhaustive Search (Brute Force)
Bounds for Integer Solutions
Suitable Grade Level
Grades 10-12
Related Recommendation
Combinatorics: Finding Ways to Make 80 Cents Using Nickels, Dimes, and Quarters
Combinatorics Problem: Finding Ways to Make 80 Cents with Nickels, Dimes, and Quarters
Maximizing Coin Collection from 100 Boxes
Count Ways to Pay Rs. 25 Using Rs. 1, Rs. 2, and Rs. 5 Coins
Number of Different Sums of Money with 4 Coins of Different Denominations