Math Problem Statement

У Васи в кармане монеты достоинством 1, 2, 5, 10 рублей, причём каждого вида по б штук. Васе необходимо набрать ровно 94 рубля. Сколькими способами он может это сделать?

Solution

Для решения задачи определим, сколько способов есть у Васи набрать ровно 94 рубля с использованием монет номиналом 1, 2, 5 и 10 рублей, при этом каждого номинала имеется по bb штук.

Обозначим количество используемых монет номиналом:

  • 1 рубль — x1x_1,
  • 2 рубля — x2x_2,
  • 5 рублей — x3x_3,
  • 10 рублей — x4x_4.

Тогда задача сводится к решению уравнения: x1+2x2+5x3+10x4=94,x_1 + 2x_2 + 5x_3 + 10x_4 = 94, при условии, что 0x1,x2,x3,x4b0 \leq x_1, x_2, x_3, x_4 \leq b.

Решение:

Переберем все возможные значения x4x_4 (от 0 до bb), так как каждая монета номиналом 10 рублей уменьшает требуемую сумму на 10 рублей:

  1. Для каждого значения x4x_4 уравнение преобразуется к виду: x1+2x2+5x3=9410x4.x_1 + 2x_2 + 5x_3 = 94 - 10x_4. Сумма справа должна оставаться неотрицательной, то есть: 9410x40    x49.94 - 10x_4 \geq 0 \implies x_4 \leq 9. Таким образом, x4x_4 может принимать значения от 0 до min(b,9)\min(b, 9).

  2. Для каждого фиксированного x4x_4 перебираем значения x3x_3 (от 0 до bb), так как каждая монета номиналом 5 рублей уменьшает требуемую сумму на 5 рублей: x1+2x2=9410x45x3.x_1 + 2x_2 = 94 - 10x_4 - 5x_3. Здесь правая часть также должна быть неотрицательной: 9410x45x30    x39410x45.94 - 10x_4 - 5x_3 \geq 0 \implies x_3 \leq \frac{94 - 10x_4}{5}. Максимальное значение x3x_3 ограничено сверху минимальным из двух значений: bb и 9410x45\left\lfloor \frac{94 - 10x_4}{5} \right\rfloor.

  3. Теперь для каждого фиксированного x4x_4 и x3x_3 решаем уравнение: x1+2x2=9410x45x3.x_1 + 2x_2 = 94 - 10x_4 - 5x_3. Перебираем x2x_2 от 0 до bb, а x1x_1 однозначно определяется как: x1=9410x45x32x2.x_1 = 94 - 10x_4 - 5x_3 - 2x_2. Условие 0x1b0 \leq x_1 \leq b должно выполняться.

Проходя по всем допустимым значениям x4x_4, x3x_3, и x2x_2, подсчитаем количество решений, удовлетворяющих этим условиям.

Таким образом, перебор всех возможных комбинаций даст нам общее число способов набрать 94 рубля.

Хотите подробный алгоритм или примеры?

Вопросы для закрепления:

  1. Как изменится количество способов, если увеличить число монет каждого номинала?
  2. Каков будет ответ, если сумму нужно набрать не ровно, а не менее 94 рублей?
  3. Как решать аналогичные задачи, если добавить ограничения на количество монет конкретных номиналов?
  4. Можно ли решить эту задачу с помощью динамического программирования?
  5. Какой подход лучше использовать, если число монет bb очень велико?

Совет: Всегда проверяйте граничные условия и используйте методы упрощения задачи, такие как разбиение на подзадачи.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Combinatorics
Diophantine Equations
Integer Solutions

Formulas

x_1 + 2x_2 + 5x_3 + 10x_4 = 94
0 ≤ x_1, x_2, x_3, x_4 ≤ b

Theorems

Method of Exhaustive Search (Brute Force)
Bounds for Integer Solutions

Suitable Grade Level

Grades 10-12