42. Tujuh orang bepergian dengan dua mobil milik dua orang diantara mereka. Masing-masing mobil dikemudikan oleh pemiliknya dan kapasitas mobil masing-masing adalah 5 orang termasuk pengemudi. Banyak cara Menyusun penumpang di kedua mobil tersebut adalah....

Mari kita selesaikan masalah ini langkah demi langkah:

1. **Jumlah orang yang bepergian:** 7 orang.
2. **Jumlah mobil:** 2 mobil, masing-masing dengan kapasitas 5 orang (termasuk pengemudi).
3. **Kondisi khusus:** Kedua mobil dikemudikan oleh pemiliknya masing-masing, sehingga setiap mobil harus memiliki minimal satu penumpang yang merupakan pemilik/pengemudi mobil tersebut.

### Langkah-langkah penyelesaian:

1. **Pilih dua orang yang akan menjadi pemilik/pengemudi mobil.**  
   Karena ada 7 orang, kita pilih 2 orang dari mereka untuk menjadi pengemudi. Banyak cara untuk memilih dua pengemudi dari 7 orang adalah:  
   \[
   \binom{7}{2} = \frac{7!}{2!(7-2)!} = 21
   \]

2. **Distribusi penumpang yang tersisa.**  
   Setelah memilih dua orang pengemudi, tersisa 5 orang yang perlu ditempatkan di dua mobil. Kita perlu menentukan berapa banyak penumpang yang akan menumpang di mobil pertama dan mobil kedua.

   - Misalkan \(x\) adalah jumlah penumpang (selain pengemudi) di mobil pertama. Maka jumlah penumpang di mobil kedua adalah \(5 - x\).

3. **Kasus distribusi penumpang:**
   - Jika mobil pertama membawa 1 penumpang tambahan (jadi 2 orang total termasuk pengemudi), maka mobil kedua harus membawa 3 penumpang tambahan.
   - Jika mobil pertama membawa 2 penumpang tambahan, maka mobil kedua membawa 2 penumpang tambahan.
   - Jika mobil pertama membawa 3 penumpang tambahan, maka mobil kedua membawa 1 penumpang tambahan.

   Kita akan menghitung jumlah cara untuk setiap skenario di atas.

### Menghitung jumlah cara untuk setiap distribusi:

- **Kasus 1:** Mobil pertama memiliki 1 penumpang tambahan.  
  Banyak cara untuk memilih 1 penumpang dari 5 orang adalah \(\binom{5}{1} = 5\).  
  Setelah memilih 1 penumpang untuk mobil pertama, sisa 4 orang akan di mobil kedua.

- **Kasus 2:** Mobil pertama memiliki 2 penumpang tambahan.  
  Banyak cara untuk memilih 2 penumpang dari 5 orang adalah \(\binom{5}{2} = 10\).  
  Sisa 3 orang otomatis masuk ke mobil kedua.

- **Kasus 3:** Mobil pertama memiliki 3 penumpang tambahan.  
  Banyak cara untuk memilih 3 penumpang dari 5 orang adalah \(\binom{5}{3} = 10\).  
  Sisa 2 orang masuk ke mobil kedua.

### Menghitung total cara:

Jumlah total cara menyusun penumpang adalah:
\[
21 \times (5 + 10 + 10) = 21 \times 25 = 525
\]

Jadi, banyak cara menyusun penumpang di kedua mobil tersebut adalah **525 cara**.

Apakah ada yang ingin ditanyakan atau dijelaskan lebih lanjut? 

Berikut 5 pertanyaan terkait:
1. Bagaimana cara menggunakan kombinasi (\(\binom{n}{r}\)) dalam menghitung banyak cara memilih?
2. Mengapa penting untuk mempertimbangkan setiap skenario distribusi penumpang?
3. Apakah ada situasi lain yang dapat digunakan prinsip kombinasi dalam soal ini?
4. Bagaimana jika kapasitas mobil berbeda? Bagaimana mengubah perhitungan?
5. Bagaimana jika hanya satu mobil yang tersedia?

**Tip:** Dalam masalah kombinatorial, penting untuk memecah masalah menjadi kasus-kasus yang lebih kecil dan menghitung setiap kasus secara terpisah.

Explore how to solve a combinatorial problem involving the arrangement of 7 people into 2 cars, where each car is driven by its owner. Learn to apply combination formulas and different distribution cases. Suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation