Vấn đề này yêu cầu chúng ta tìm số cách điền các số $1$ và $-1$ vào một bảng vuông $4 \times 4$ sao cho tổng các số trong mỗi hàng và mỗi cột đều bằng 0.

Phân tích:

• Tổng các số trong mỗi hàng: Mỗi hàng có 4 ô, và chúng ta phải điền các số $1$ và $-1$ sao cho tổng mỗi hàng là $0$. Để tổng của một hàng bằng 0, số lượng số $1$ và số $-1$ phải bằng nhau. Vì vậy, mỗi hàng cần có 2 số $1$ và 2 số $-1$.
• Tổng các số trong mỗi cột: Tương tự, để tổng mỗi cột là $0$, số lượng số $1$ và số $-1$ trong mỗi cột cũng phải bằng nhau, tức là mỗi cột cần có 2 số $1$ và 2 số $-1$.

Với yêu cầu này, bài toán trở thành việc tìm số cách phân phối 2 số $1$ và 2 số $-1$ vào mỗi hàng và mỗi cột sao cho tổng của mỗi hàng và mỗi cột đều bằng 0.

Phương pháp giải:

1. Chia thành bài toán phân phối trong mỗi hàng: Mỗi hàng phải có 2 số $1$ và 2 số $-1$, tức là việc điền vào mỗi hàng là một bài toán chọn 2 vị trí trong 4 ô để điền số $1$, còn lại sẽ là số $-1$. Số cách chọn 2 ô trong 4 ô là $\binom{4}{2} = 6$.

2. Tính số cách điền cho tất cả các hàng: Với mỗi hàng, chúng ta có 6 cách điền các số $1$ và $-1$. Tuy nhiên, do điều kiện tổng mỗi cột cũng phải bằng 0, bài toán trở thành bài toán tìm ma trận $4 \times 4$ với các hàng và cột có tổng bằng 0, tức là bài toán tìm các ma trận có tính chất đặc biệt. Số cách điền thoả mãn điều kiện này có thể được tính thông qua lý thuyết tổ hợp hoặc lý thuyết ma trận đặc biệt, và kết quả là 90 cách điền.

Kết luận:

Có 90 cách điền các số $1$ và $-1$ vào bảng $4 \times 4$ sao cho tổng các số trong mỗi hàng và mỗi cột đều bằng 0.

---

Nếu bạn có thắc mắc hay muốn hiểu rõ hơn về cách giải chi tiết, mình rất vui được giải thích thêm!

5 câu hỏi mở rộng:

1. Làm thế nào để tính số cách điền trong các bài toán có điều kiện tổng bằng một giá trị khác ngoài 0?
2. Cách tính số cách điền trong các ma trận có kích thước lớn hơn $4 \times 4$?
3. Bài toán này có thể mở rộng với các số khác ngoài $1$ và $-1$ không?
4. Cách sử dụng lý thuyết ma trận để giải quyết bài toán tổ hợp như thế nào?
5. Trong các bài toán xác suất với điều kiện tương tự, làm sao để tính xác suất của việc các tổng cột và tổng hàng đều bằng 0?

Tip: Khi giải quyết các bài toán về ma trận tổ hợp, việc phân tích từng hàng và cột riêng biệt trước khi kết hợp chúng lại sẽ giúp bạn tìm ra các giải pháp dễ dàng hơn!