Для решения задачи будем использовать свойства хорд окружности и геометрические соотношения.

1. Пусть окружность имеет центр $O$ и радиус $R$.
2. Обозначим хорды как $AB$ и $CD$ длинами $AB = 6 \, \text{см}$, $CD = 10 \, \text{см}$.
3. Пусть $M$ и $N$ — середины хорд $AB$ и $CD$ соответственно. Длина отрезка $MN = 4 \, \text{см}$.

---

Шаг 1. Систематизация известной информации. Середины хорд $M$ и $N$ находятся на линиях, перпендикулярных хордам $AB$ и $CD$, которые проходят через центр $O$. Эти линии называются серединными перпендикулярами.

---

Шаг 2. Координатная система. Предположим, что центр окружности $O$ находится в начале координат. Положение хорд зададим в горизонтальной плоскости. Тогда:

• Хорда $AB$ располагается на расстоянии $h_1$ от центра $O$, где $h_1$ — расстояние от центра окружности до хорды.
• Хорда $CD$ находится на расстоянии $h_2$.

Расстояния $h_1$ и $h_2$ удовлетворяют уравнению окружности: $R^2 = h_1^2 + \left(\frac{AB}{2}\right)^2,$ $R^2 = h_2^2 + \left(\frac{CD}{2}\right)^2.$

---

Шаг 3. Связь между $h_1$, $h_2$, и $MN$. Из условия задачи известно, что расстояние между серединами хорд $M$ и $N$ равно 4 см: $MN = |h_1 - h_2| = 4.$

---

Шаг 4. Решение системы уравнений. Подставим значения длин хорд $AB = 6$ и $CD = 10$: $R^2 = h_1^2 + 3^2 = h_1^2 + 9,$ $R^2 = h_2^2 + 5^2 = h_2^2 + 25.$

Так как $|h_1 - h_2| = 4$, положим $h_2 = h_1 + 4$. Подставим это в уравнение: $h_1^2 + 9 = (h_1 + 4)^2 + 25.$

Раскроем скобки: $h_1^2 + 9 = h_1^2 + 8h_1 + 16 + 25.$

Сократим $h_1^2$ и упростим: $9 = 8h_1 + 41,$ $8h_1 = -32,$ $h_1 = -4.$

Подставляем $h_1$ в $R^2$: $R^2 = (-4)^2 + 9 = 16 + 9 = 25.$

Таким образом, радиус окружности: $R = \sqrt{25} = 5 \, \text{см}.$

---

Ответ: Радиус окружности равен $5 \, \text{см}$.

---

Хотите более подробное объяснение?

Вопросы для углубления:

1. Как вычислить длины перпендикуляров от центра окружности до хорд?
2. Почему важно использовать разницу $|h_1 - h_2| = 4$?
3. Как вывести общее уравнение для радиуса $R$ окружности?
4. В каких случаях хорды будут параллельны?
5. Как проверить правильность вычислений при $h_1 \neq h_2$?

Совет: Если в задаче дана длина отрезка между серединами хорд, чаще всего это ключ к выражению радиуса через разницу высот.