בוא ננתח את השאלה שלך:

בקבוצה עם פעולה בינארית $(G, *)$, כאשר יש איבר ניטרלי $e$ (כך שלכל $a \in G$, מתקיים $a * e = e * a = a$), אנו מגדירים את האיבר הנגדי של $a$ כ-$b$ כזה שמקיים: $a * b = b * a = e.$

ניתוח המקרה

נבדוק אם ייתכן שלאותו איבר $a$ יהיו שני איברים נגדיים שונים, נניח $b_1$ ו-$b_2$, כלומר: $a * b_1 = e \quad \text{ו-} \quad a * b_2 = e.$

אם זה נכון, נוכל לבצע את הפעולות הבאות:

1. $b_1 = b_1 * e$ (כי $e$ הוא האיבר הניטרלי).

2. נציב $e = a * b_2$ מתוך ההנחה: $b_1 = b_1 * (a * b_2).$

3. לפי אסוציאטיביות (אם הפעולה אסוציאטיבית): $b_1 = (b_1 * a) * b_2.$

4. מאחר ש-$b_1 * a = e$ לפי ההנחה ש-$b_1$ הוא נגדי של $a$, מתקבל: $b_1 = e * b_2 = b_2.$

מסקנה

אם הפעולה אסוציאטיבית (למשל, בקבוצה עם מבנה חבורה), לא ייתכן שלאותו איבר $a$ יהיו שני איברים נגדיים שונים. הנגדי הוא תמיד יחיד.

כאשר הפעולה אינה אסוציאטיבית

במבנים שאינם אסוציאטיביים (למשל, בלופים או מבנים אחרים), ניתן תאורטית להיתקל במקרים שבהם לאיבר $a$ יש יותר מאיבר נגדי אחד, כי ההגדרות והמבנים גמישים יותר.

---

שאלות נוספות שיכולות להרחיב את הדיון:

1. מה התנאים המינימליים הנדרשים כדי להבטיח יחידות של איבר נגדי?
2. כיצד נראית קבוצה שבה הפעולה אינה אסוציאטיבית, ומה ההשלכות לכך?
3. האם ייתכן מבנה שבו הנגדי תלוי בכיוון הפעולה (ימין מול שמאל)?
4. איך משתנה ההגדרה של נגדי במבנים כמו חוגים או חבורות למחצה?
5. מהם שימושי הנגדי בקבוצות עם פעולות מתקדמות, כמו אלגברות מטריצות?

טיפ:

כאשר בודקים תכונות של מבנה אלגברי, תמיד מומלץ להתחיל מהגדרות היסוד (ניטרלי, נגדי, אסוציאטיביות) ולחקור מה נובע מהן.