Bambang sedang bimbang dalam memilih material pasir untuk membangun rumahnya. Terdapat dua jenis pasir yaitu pasir gunung dan pasir sungai. Setelah pasir diberi air dengan volume yang sama, kedua pasir dilakukan uji penuangan. Pasir gunung dan pasir sungai tersebut dituang secara terpisah hingga membentuk kerucut (lihat ilustrasi tampak samping di bawah).



Radius alas pasir gunung adalah meter dan radius pasir sungai adalah  meter. Titik A adalah pusat dari alas kerucut pasir gunung dan titik B adalah pusat dari alas kerucut pasir sungai. Ketika dituang dengan laju yang sama (Q m3/s)(Q m3/s), tinggi pasir gunung selalu sebesar setengah kali diameter alasnya, dan tinggi pasir sungai selalu sebesar seperempat diameter alasnya. Jarak antara titik A dan B adalah enam meter.

Jika pasir dituangkan dengan laju sebesar Qm3/sQm3/s, laju perubahan besar luas dari dasar pasir sungai terhadap waktu (t) dapat ditulis dengan …











Dari informasi yang diberikan, kita dapat mulai menyelesaikan masalah ini dengan memahami bagaimana volume dan luas alas kerucut berubah seiring waktu. Mari kita pecahkan langkah demi langkah.

### Informasi yang Diketahui:
1. **Pasir Gunung**:
   - Tinggi \( h_g = \frac{1}{2} \times \text{diameter alas} \)
   - \( h_g = \frac{1}{2} \times 2r_g = r_g \) (dengan \( r_g \) adalah radius alas kerucut pasir gunung).

2. **Pasir Sungai**:
   - Tinggi \( h_s = \frac{1}{4} \times \text{diameter alas} \)
   - \( h_s = \frac{1}{4} \times 2r_s = \frac{1}{2} r_s \) (dengan \( r_s \) adalah radius alas kerucut pasir sungai).

3. **Laju aliran volume pasir** adalah \( Q \, \text{m}^3/\text{s} \).
   - Kita bisa memanfaatkan laju aliran ini untuk menghubungkan dengan perubahan volume dari kerucut, dan akhirnya perubahan luas alasnya.

### Langkah 1: Volume Kerucut
Rumus volume kerucut adalah:

\[
V = \frac{1}{3} \pi r^2 h
\]

Untuk pasir sungai, kita masukkan tinggi \( h_s = \frac{1}{2} r_s \) ke dalam rumus:

\[
V_s = \frac{1}{3} \pi r_s^2 \times \frac{1}{2} r_s = \frac{\pi}{6} r_s^3
\]

Laju perubahan volume terhadap waktu \( \frac{dV_s}{dt} \) sama dengan laju aliran volume \( Q \), sehingga:

\[
Q = \frac{dV_s}{dt}
\]

Substitusi \( V_s = \frac{\pi}{6} r_s^3 \) ke dalam persamaan di atas:

\[
Q = \frac{d}{dt} \left( \frac{\pi}{6} r_s^3 \right) = \frac{\pi}{6} \times 3r_s^2 \frac{dr_s}{dt}
\]

Sehingga:

\[
Q = \frac{\pi}{2} r_s^2 \frac{dr_s}{dt}
\]

Dari sini, kita bisa memecahkan untuk \( \frac{dr_s}{dt} \):

\[
\frac{dr_s}{dt} = \frac{2Q}{\pi r_s^2}
\]

### Langkah 2: Laju Perubahan Luas Alas
Luas alas kerucut pasir sungai adalah:

\[
A_s = \pi r_s^2
\]

Laju perubahan luas alas terhadap waktu adalah:

\[
\frac{dA_s}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \pi r_s^2 \right) = 2\pi r_s \frac{dr_s}{dt}
\]

Substitusi \( \frac{dr_s}{dt} \) dari langkah sebelumnya:

\[
\frac{dA_s}{dt} = 2\pi r_s \times \frac{2Q}{\pi r_s^2}
\]

Sederhanakan:

\[
\frac{dA_s}{dt} = \frac{4Q}{r_s}
\]

### Kesimpulan:
Laju perubahan luas dari alas kerucut pasir sungai terhadap waktu adalah:

\[
\frac{dA_s}{dt} = \frac{4Q}{r_s}
\]

Jika ada pertanyaan lebih lanjut, silakan ajukan. Berikut beberapa pertanyaan terkait untuk latihan lebih lanjut:

1. Bagaimana kita menghitung \( r_s \) jika diketahui volume tertentu?
2. Jika laju aliran \( Q \) berubah, bagaimana mempengaruhi \( \frac{dA_s}{dt} \)?
3. Apa yang terjadi jika perbandingan tinggi dengan diameter berubah untuk pasir gunung?
4. Bagaimana jarak antara titik A dan B memengaruhi laju aliran jika ada interaksi antara dua tumpukan pasir?
5. Jika ditambahkan pasir ketiga dengan karakteristik tinggi yang berbeda, bagaimana kita bisa memodifikasi persamaan ini?

**Tip:** Perhatikan bahwa hubungan antara volume dan radius sangat bergantung pada bagaimana tinggi kerucut didefinisikan, jadi pastikan menggunakan perbandingan yang tepat untuk jenis pasir yang diberikan.

Bambang sedang bimbang dalam memilih material pasir untuk membangun rumahnya. Terdapat dua jenis pasir yaitu pasir gunung dan pasir sungai. Setelah pasir diberi air dengan volume yang sama, kedua pasir dilakukan uji penuangan. Pasir gunung dan pasir sungai tersebut dituang secara terpisah hingga membentuk kerucut. Radius alas pasir gunung adalah meter dan radius pasir sungai adalah meter. Titik A adalah pusat dari alas kerucut pasir gunung dan titik B adalah pusat dari alas kerucut pasir sungai. Ketika dituang dengan laju yang sama (Q m3/s), tinggi pasir gunung selalu sebesar setengah kali diameter alasnya, dan tinggi pasir sungai selalu sebesar seperempat diameter alasnya. Jarak antara titik A dan B adalah enam meter. Jika pasir dituangkan dengan laju sebesar Q m3/s, laju perubahan besar luas dari dasar pasir sungai terhadap waktu (t) dapat ditulis dengan …

Explore how to calculate the rate of change of the base area of a cone formed by pouring sand at a constant rate. This problem involves using the related rates method, geometrical properties of cones, and calculus concepts. Suitable for college-level calculus students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation