Dari informasi yang diberikan, kita dapat mulai menyelesaikan masalah ini dengan memahami bagaimana volume dan luas alas kerucut berubah seiring waktu. Mari kita pecahkan langkah demi langkah.

Informasi yang Diketahui:

1. Pasir Gunung:

   • Tinggi $h_g = \frac{1}{2} \times \text{diameter alas}$
   • $h_g = \frac{1}{2} \times 2r_g = r_g$ (dengan $r_g$ adalah radius alas kerucut pasir gunung).

2. Pasir Sungai:

   • Tinggi $h_s = \frac{1}{4} \times \text{diameter alas}$
   • $h_s = \frac{1}{4} \times 2r_s = \frac{1}{2} r_s$ (dengan $r_s$ adalah radius alas kerucut pasir sungai).

3. Laju aliran volume pasir adalah $Q \, \text{m}^3/\text{s}$.

   • Kita bisa memanfaatkan laju aliran ini untuk menghubungkan dengan perubahan volume dari kerucut, dan akhirnya perubahan luas alasnya.

Langkah 1: Volume Kerucut

Rumus volume kerucut adalah:

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

Untuk pasir sungai, kita masukkan tinggi $h_s = \frac{1}{2} r_s$ ke dalam rumus:

$V_s = \frac{1}{3} \pi r_s^2 \times \frac{1}{2} r_s = \frac{\pi}{6} r_s^3$

Laju perubahan volume terhadap waktu $\frac{dV_s}{dt}$ sama dengan laju aliran volume $Q$, sehingga:

$Q = \frac{dV_s}{dt}$

Substitusi $V_s = \frac{\pi}{6} r_s^3$ ke dalam persamaan di atas:

$Q = \frac{d}{dt} \left( \frac{\pi}{6} r_s^3 \right) = \frac{\pi}{6} \times 3r_s^2 \frac{dr_s}{dt}$

Sehingga:

$Q = \frac{\pi}{2} r_s^2 \frac{dr_s}{dt}$

Dari sini, kita bisa memecahkan untuk $\frac{dr_s}{dt}$:

$\frac{dr_s}{dt} = \frac{2Q}{\pi r_s^2}$

Langkah 2: Laju Perubahan Luas Alas

Luas alas kerucut pasir sungai adalah:

$A_s = \pi r_s^2$

Laju perubahan luas alas terhadap waktu adalah:

$\frac{dA_s}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \pi r_s^2 \right) = 2\pi r_s \frac{dr_s}{dt}$

Substitusi $\frac{dr_s}{dt}$ dari langkah sebelumnya:

$\frac{dA_s}{dt} = 2\pi r_s \times \frac{2Q}{\pi r_s^2}$

Sederhanakan:

$\frac{dA_s}{dt} = \frac{4Q}{r_s}$

Kesimpulan:

Laju perubahan luas dari alas kerucut pasir sungai terhadap waktu adalah:

$\frac{dA_s}{dt} = \frac{4Q}{r_s}$

Jika ada pertanyaan lebih lanjut, silakan ajukan. Berikut beberapa pertanyaan terkait untuk latihan lebih lanjut:

1. Bagaimana kita menghitung $r_s$ jika diketahui volume tertentu?
2. Jika laju aliran $Q$ berubah, bagaimana mempengaruhi $\frac{dA_s}{dt}$?
3. Apa yang terjadi jika perbandingan tinggi dengan diameter berubah untuk pasir gunung?
4. Bagaimana jarak antara titik A dan B memengaruhi laju aliran jika ada interaksi antara dua tumpukan pasir?
5. Jika ditambahkan pasir ketiga dengan karakteristik tinggi yang berbeda, bagaimana kita bisa memodifikasi persamaan ini?

Tip: Perhatikan bahwa hubungan antara volume dan radius sangat bergantung pada bagaimana tinggi kerucut didefinisikan, jadi pastikan menggunakan perbandingan yang tepat untuk jenis pasir yang diberikan.