Aby obliczyć granicę ciągu $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$, zacznijmy od rozpoznania, że jest to dobrze znane wyrażenie związane z liczbą e (podstawową liczbą w matematyce, zwłaszcza w analizie).

Granica tego ciągu jest zdefiniowana jako:

$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$

Zastosujmy granicę:

$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$

Odpowiedź: Granica ciągu $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ dla $n \to \infty$ wynosi e, czyli około 2.718.

Czy chcesz więcej szczegółów na temat tego procesu?

Oto 5 pytań do dalszej eksploracji:

1. Jak można udowodnić, że granica tego ciągu wynosi $e$?
2. Jakie inne wzory wykorzystują liczbę $e$?
3. Jakie jest zastosowanie liczby $e$ w rachunku różniczkowym?
4. W jaki sposób można aproksymować $e$ za pomocą innych metod?
5. Jak wygląda rozwinięcie w szereg Taylora dla liczby $e$?

Tip:

Liczba $e$ pojawia się w wielu kontekstach, szczególnie w matematyce związanej z rosnącymi procesami i zjawiskami eksponencjalnymi, jak np. wzrost wykładniczy.