Для вычисления предела суммы $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}$, сначала упростим выражение для частичных сумм.

Шаг 1: Упрощение суммы

Заметим, что: $\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}.$

Шаг 2: Представление суммы

Теперь можем переписать исходную сумму: $\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right).$

Шаг 3: Телескопическая сумма

Эта сумма является телескопической, что означает, что большинство слагаемых сокращаются: $\left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = 1 - \frac{1}{n+1}.$

Шаг 4: Предел при $n \to \infty$

Найдём предел: $\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n+1}\right) = 1.$

Итак, ответ: $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = 1.$

Могу ли я помочь с чем-то ещё?

Вот 5 вопросов, которые могут расширить ваши знания по теме:

1. Какой метод можно использовать для вычисления других телескопических сумм?
2. Почему телескопические ряды удобны для вычисления пределов?
3. Как вычислить предел частичного ряда, если его члены не телескопические?
4. Можно ли использовать телескопические суммы в интегральном исчислении?
5. Как связаны телескопические суммы и разложения в цепные дроби?

Совет: Телескопические суммы полезны при упрощении выражений с последовательными разностями. Ищите возможность переписать выражение в виде телескопической суммы, чтобы упростить расчёт.