Давайте рассмотрим каждый из вопросов по отдельности.

---

6. Найти производную функции, описывающей полет тела, брошенного под углом к горизонту.

Пусть тело бросается под углом $\alpha$ к горизонту с начальной скоростью $v_0$. Тогда уравнения движения можно записать в следующем виде:

• По оси $x$: $x(t) = v_0 \cos \alpha \cdot t$
• По оси $y$: $y(t) = v_0 \sin \alpha \cdot t - \frac{1}{2} g t^2$

Задача — найти производные по времени:

• По оси $x$: $\frac{dx}{dt} = v_0 \cos \alpha$
• По оси $y$: $\frac{dy}{dt} = v_0 \sin \alpha - g t$

Это скорости тела в каждый момент времени по $x$ и $y$.

---

7. Чему равна производная функции $y = f(x)$, если известно, что она удовлетворяет соотношению $x y^3 - y x^3 + 4x^2 = 1 - xy + y^3$?

Чтобы найти $y'$, используем метод неявного дифференцирования. Дифференцируем обе части данного уравнения по $x$: $\frac{d}{dx} (x y^3 - y x^3 + 4x^2) = \frac{d}{dx} (1 - xy + y^3)$ Выполнив дифференцирование и упростив выражение, можно будет выразить $y'$ (или $\frac{dy}{dx}$).

---

8. Найти сотую производную функции $\frac{1+x}{\sqrt{1-x}}$

Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{1+x}{\sqrt{1-x}}$. Для нахождения сотой производной можно попытаться разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки $x = 0$ и найти производную соответствующего порядка. В данном случае функция имеет вид, допускающий разложение в степенной ряд, и коэффициенты перед степенями $x$ могут быть использованы для вычисления производных.

---

9. Бывают ли функции с показателем Гёльдеровости больше 1?

Показатель Гёльдеровости функции обычно лежит в пределах от $0$ до $1$ для большинства функций, которые не являются линейными. Если показатель Гёльдеровости больше 1, функция должна быть очень гладкой, фактически это будет ограничение на вторую производную. На практике показатели Гёльдеровости больше 1 не используются, так как они описывают линейные или более гладкие функции, но в теории такие показатели возможны.

---

10. Любая ли липшицева функция является непрерывной?

Да, любая липшицева функция является непрерывной. Липшицевость — это более строгое условие, чем непрерывность, так как функция не только непрерывна, но и изменение функции ограничено линейным образом относительно изменения аргумента.

---

Дополнительные вопросы для расширения:

1. Как найти производную функции движения по параметрически заданным координатам?
2. Можно ли определить, является ли функция Гёльдеровой, исходя только из её вида?
3. Как связаны между собой Гёльдеровость и липшицевость?
4. В каких случаях липшицева функция может быть дифференцируемой?
5. Какие условия накладывает липшицевость на производную функции?

Совет:

Для решения задач, связанных с неявными производными, всегда полезно использовать метод неявного дифференцирования и затем выразить производную искомой функции через известные параметры.