请依次计算表面积为1的球体、正方体、正四面体的体积，结果用小数表示。

我们依次计算表面积为1的球体、正方体、正四面体的体积。

### 1. 球体的体积

对于一个球体，表面积 \(A = 4\pi r^2\)，其中 \(r\) 是球体的半径。

已知 \(A = 1\)：
\[ 4\pi r^2 = 1 \]
\[ r^2 = \frac{1}{4\pi} \]
\[ r = \sqrt{\frac{1}{4\pi}} = \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \]

球体的体积 \(V = \frac{4}{3} \pi r^3\)：
\[ V = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{1}{2\sqrt{\pi}}\right)^3 \]
\[ V = \frac{4}{3} \pi \cdot \frac{1}{8\pi^{3/2}} \]
\[ V = \frac{4}{24\pi^{1.5}} \]
\[ V = \frac{1}{6\pi^{1.5}} \]
计算结果：
\[ V \approx 0.094 \]

### 2. 正方体的体积

对于一个正方体，表面积 \(A = 6a^2\)，其中 \(a\) 是正方体的边长。

已知 \(A = 1\)：
\[ 6a^2 = 1 \]
\[ a^2 = \frac{1}{6} \]
\[ a = \sqrt{\frac{1}{6}} \]

正方体的体积 \(V = a^3\)：
\[ V = \left(\sqrt{\frac{1}{6}}\right)^3 \]
\[ V = \frac{1}{6\sqrt{6}} \]
\[ V = \frac{1}{6 \cdot 2.449} \]
\[ V \approx 0.068 \]

### 3. 正四面体的体积

对于一个正四面体，表面积 \(A = \sqrt{3}a^2\)，其中 \(a\) 是正四面体的边长。

已知 \(A = 1\)：
\[ \sqrt{3}a^2 = 1 \]
\[ a^2 = \frac{1}{\sqrt{3}} \]
\[ a = \sqrt{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \left(\frac{1}{3^{1/4}}\right) \]

正四面体的体积 \(V = \frac{a^3}{6\sqrt{2}}\)：
\[ V = \frac{\left(\frac{1}{3^{1/4}}\right)^3}{6\sqrt{2}} \]
\[ V = \frac{1}{3^{3/4} \cdot 6\sqrt{2}} \]
\[ V = \frac{1}{6 \cdot 1.316 \cdot 1.414} \]
\[ V \approx 0.039 \]

结果总结：
1. 球体的体积 \(V \approx 0.094\)
2. 正方体的体积 \(V \approx 0.068\)
3. 正四面体的体积 \(V \approx 0.039\)

如有任何疑问或需要进一步的解释，请告诉我。

您还可以提出以下问题：
1. 如何计算球体的表面积和体积？
2. 如何推导正方体的表面积和体积公式？
3. 正四面体的体积计算有无其他方法？
4. 是否可以比较不同形状在相同表面积下的体积？
5. 如何理解立体几何中体积与表面积的关系？

小贴士：理解几何体的基本性质和公式是解决几何问题的关键，特别是在复杂问题中。

Learn how to calculate the volumes of a sphere, cube, and tetrahedron with a given surface area of 1. Detailed solutions and formulas are provided for each shape. Suitable for high school students studying geometry and solid figures.

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