Imamo pravilnu četvorostranu piramidu sa sledećim podacima:

• Površina dijagonalnog preseka: $P_d = 132 \, \text{cm}^2$,
• Bočna ivica piramide: $s = 13 \, \text{cm}$,
• Visina piramide: $h = 12 \, \text{cm}$.

Treba da izračunamo ukupnu površinu piramide $P$ i zapreminu $V$.

1. Površina piramide $P$

Površina piramide $P$ sastoji se od:

• Površine osnove $P_o$,
• Površine četiri bočna trougla $P_b$.

Površina osnove $P_o$

Osnova piramide je kvadrat, pa je površina osnove: $P_o = a^2$ Gde je $a$ dužina stranice osnove. Međutim, nemamo $a$, ali možemo ga izračunati pomoću bočne ivice i visine piramide.

Stranica osnove $a$

Koristićemo Pitagorinu teoremu na trougao formiran visinom piramide, poluprečnikom osnove (polovina stranice kvadrata) i bočnom ivicom $s$. Visina ovog trougla je visina piramide $h$, bočna ivica $s$, a polovina stranice osnove je $\frac{a}{2}$.

Pitagorina teorema: $s^2 = h^2 + \left( \frac{a}{2} \right)^2$ Ubacujemo poznate vrednosti: $13^2 = 12^2 + \left( \frac{a}{2} \right)^2$ $169 = 144 + \left( \frac{a}{2} \right)^2$ $25 = \left( \frac{a}{2} \right)^2$ $\frac{a}{2} = 5$ $a = 10 \, \text{cm}$

Površina osnove $P_o$:

$P_o = 10^2 = 100 \, \text{cm}^2$

Površina bočnih trouglova $P_b$

Površina svakog bočnog trougla je: $P_b = \frac{1}{2} a s_v$ Gde je $s_v$ visina bočnog trougla. Ova visina je deo bočne ivice, a možemo je izračunati primenom Pitagorine teoreme na trougao formiran bočnom ivicom $s$, visinom piramide $h$, i apotemom (poluprečnikom osnove). Već smo izračunali $a = 10 \, \text{cm}$, pa apotema iznosi: $\text{Apotema} = \sqrt{s^2 - h^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5 \, \text{cm}$ Sada možemo naći površinu bočnih trouglova: $P_b = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 5 = 25 \, \text{cm}^2$ Piramida ima četiri bočna trougla, pa ukupna bočna površina iznosi: $P_b = 4 \cdot 25 = 100 \, \text{cm}^2$

Ukupna površina piramide $P$:

$P = P_o + P_b = 100 + 100 = 200 \, \text{cm}^2$

2. Zapremina piramide $V$

Zapremina pravilne četvorostrane piramide računa se formulom: $V = \frac{1}{3} P_o h$ Ubacujemo poznate vrednosti: $V = \frac{1}{3} \cdot 100 \cdot 12 = 400 \, \text{cm}^3$

Zaključak:

• Ukupna površina piramide je $P = 200 \, \text{cm}^2$,
• Zapremina piramide je $V = 400 \, \text{cm}^3$.

Da li želite dodatna objašnjenja ili imate neka pitanja? Evo nekoliko povezanih pitanja za dalje razumevanje:

1. Kako bismo izračunali površinu osnove ako znamo samo visinu piramide?
2. Kako Pitagorina teorema pomaže u pronalaženju stranica piramide?
3. Možeš li objasniti šta je apotema i