P dijagonalnog preseka pravilne cetvorostrame piramide je 132cm², bocna ivica je 13 i visina 12cm . Odredi P i V

Imamo pravilnu četvorostranu piramidu sa sledećim podacima:
- Površina dijagonalnog preseka: \( P_d = 132 \, \text{cm}^2 \),
- Bočna ivica piramide: \( s = 13 \, \text{cm} \),
- Visina piramide: \( h = 12 \, \text{cm} \).

Treba da izračunamo ukupnu površinu piramide \( P \) i zapreminu \( V \).

### 1. Površina piramide \( P \)

Površina piramide \( P \) sastoji se od:
- Površine osnove \( P_o \),
- Površine četiri bočna trougla \( P_b \).

#### Površina osnove \( P_o \)
Osnova piramide je kvadrat, pa je površina osnove:
\[
P_o = a^2
\]
Gde je \( a \) dužina stranice osnove. Međutim, nemamo \( a \), ali možemo ga izračunati pomoću bočne ivice i visine piramide.

#### Stranica osnove \( a \)
Koristićemo Pitagorinu teoremu na trougao formiran visinom piramide, poluprečnikom osnove (polovina stranice kvadrata) i bočnom ivicom \( s \). Visina ovog trougla je visina piramide \( h \), bočna ivica \( s \), a polovina stranice osnove je \( \frac{a}{2} \).

Pitagorina teorema:
\[
s^2 = h^2 + \left( \frac{a}{2} \right)^2
\]
Ubacujemo poznate vrednosti:
\[
13^2 = 12^2 + \left( \frac{a}{2} \right)^2
\]
\[
169 = 144 + \left( \frac{a}{2} \right)^2
\]
\[
25 = \left( \frac{a}{2} \right)^2
\]
\[
\frac{a}{2} = 5
\]
\[
a = 10 \, \text{cm}
\]

#### Površina osnove \( P_o \):
\[
P_o = 10^2 = 100 \, \text{cm}^2
\]

#### Površina bočnih trouglova \( P_b \)
Površina svakog bočnog trougla je:
\[
P_b = \frac{1}{2} a s_v
\]
Gde je \( s_v \) visina bočnog trougla. Ova visina je deo bočne ivice, a možemo je izračunati primenom Pitagorine teoreme na trougao formiran bočnom ivicom \( s \), visinom piramide \( h \), i apotemom (poluprečnikom osnove). Već smo izračunali \( a = 10 \, \text{cm} \), pa apotema iznosi:
\[
\text{Apotema} = \sqrt{s^2 - h^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5 \, \text{cm}
\]
Sada možemo naći površinu bočnih trouglova:
\[
P_b = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 5 = 25 \, \text{cm}^2
\]
Piramida ima četiri bočna trougla, pa ukupna bočna površina iznosi:
\[
P_b = 4 \cdot 25 = 100 \, \text{cm}^2
\]

#### Ukupna površina piramide \( P \):
\[
P = P_o + P_b = 100 + 100 = 200 \, \text{cm}^2
\]

### 2. Zapremina piramide \( V \)
Zapremina pravilne četvorostrane piramide računa se formulom:
\[
V = \frac{1}{3} P_o h
\]
Ubacujemo poznate vrednosti:
\[
V = \frac{1}{3} \cdot 100 \cdot 12 = 400 \, \text{cm}^3
\]

### Zaključak:
- Ukupna površina piramide je \( P = 200 \, \text{cm}^2 \),
- Zapremina piramide je \( V = 400 \, \text{cm}^3 \).

Da li želite dodatna objašnjenja ili imate neka pitanja? Evo nekoliko povezanih pitanja za dalje razumevanje:

1. Kako bismo izračunali površinu osnove ako znamo samo visinu piramide?
2. Kako Pitagorina teorema pomaže u pronalaženju stranica piramide?
3. Možeš li objasniti šta je apotema i

P dijagonalnog preseka pravilne cetvorostrame piramide je 132cm², bocna ivica je 13 i visina 12cm. Odredi P i V.

Learn how to calculate the surface area and volume of a square pyramid with a lateral edge of 13cm and height of 12cm. This problem uses geometry concepts like the Pythagorean theorem, surface area, and volume calculations. Suitable for students in Grades 9-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation