要找到 \(\sqrt{-i}\) 的值，我们需要将 \(-i\) 表示为极坐标形式并利用极坐标形式来计算它的平方根。

1. **将 \(-i\) 转换为极坐标形式**：
\[
-i = e^{-i\frac{\pi}{2}}
\]

因为 \(-i\) 在复平面上相当于旋转 \(-\frac{\pi}{2}\) 弧度。

2. **计算平方根**：
复数的平方根可以表示为：
\[
\sqrt{r e^{i\theta}} = \sqrt{r} e^{i\frac{\theta}{2}}
\]

对于 \(-i = e^{-i\frac{\pi}{2}} \)，我们有 \(r = 1\) 和 \(\theta = -\frac{\pi}{2}\)，因此：

\[
\sqrt{-i} = \sqrt{1} e^{i\frac{-\frac{\pi}{2}}{2}} = e^{-i\frac{\pi}{4}}
\]

3. **表示为复数形式**：
\[
e^{-i\frac{\pi}{4}} = \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)
\]

\[
\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

\[
\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}
\]

因此，
\[
\sqrt{-i} = \frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}
\]

或者，可以表示为：
\[
\sqrt{-i} = \frac{\sqrt{2}}{2} (1 - i)
\]

这就是 \(\sqrt{-i}\) 的值。

如有其他问题或需要进一步解释，请告诉我。

以下是你可能接下来会问的5个问题：
1. 如何计算复数的立方根？
2. 复数的极坐标表示有什么用途？
3. 复数的模和辐角分别是什么？
4. 如何用欧拉公式计算复数的幂？
5. 如何将复数从极坐标形式转换为直角坐标形式？

**提示：** 在处理复数时，使用极坐标形式可以大大简化乘法、除法和取幂等运算。

Learn how to calculate the square root of -i in complex numbers. Understand the application of Euler's formula and complex number operations. Suitable for advanced high school students and beyond.

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