Math Problem Statement

根号下-i等于什么

Solution

要找到 i\sqrt{-i} 的值,我们需要将 i-i 表示为极坐标形式并利用极坐标形式来计算它的平方根。

  1. i-i 转换为极坐标形式
i=eiπ2-i = e^{-i\frac{\pi}{2}}

因为 i-i 在复平面上相当于旋转 π2-\frac{\pi}{2} 弧度。

  1. 计算平方根: 复数的平方根可以表示为:
reiθ=reiθ2\sqrt{r e^{i\theta}} = \sqrt{r} e^{i\frac{\theta}{2}}

对于 i=eiπ2-i = e^{-i\frac{\pi}{2}} ,我们有 r=1r = 1θ=π2\theta = -\frac{\pi}{2},因此:

i=1eiπ22=eiπ4\sqrt{-i} = \sqrt{1} e^{i\frac{-\frac{\pi}{2}}{2}} = e^{-i\frac{\pi}{4}}
  1. 表示为复数形式
eiπ4=cos(π4)+isin(π4)e^{-i\frac{\pi}{4}} = \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) cos(π4)=22\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} sin(π4)=22\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}

因此,

i=22i22\sqrt{-i} = \frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}

或者,可以表示为:

i=22(1i)\sqrt{-i} = \frac{\sqrt{2}}{2} (1 - i)

这就是 i\sqrt{-i} 的值。

如有其他问题或需要进一步解释,请告诉我。

以下是你可能接下来会问的5个问题:

  1. 如何计算复数的立方根?
  2. 复数的极坐标表示有什么用途?
  3. 复数的模和辐角分别是什么?
  4. 如何用欧拉公式计算复数的幂?
  5. 如何将复数从极坐标形式转换为直角坐标形式?

提示: 在处理复数时,使用极坐标形式可以大大简化乘法、除法和取幂等运算。

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Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Complex Numbers
Square Roots
Euler's Formula

Formulas

Complex number square root formula: sqrt(re^(i*theta)) = sqrt(r)e^(i*theta/2)

Theorems

Euler's formula: e^(i*theta) = cos(theta) + i*sin(theta)

Suitable Grade Level

Advanced High School