Športnik mase 60 kg, všine1,7m in povprečnega premera 30 cm, se valja brez podrsavanja po pašniku z naklonskim kotom 300. Telo lahko aproksimiramo z valjem. S kolikšno hitrostjo se giblje, ko težišče prepotuje 10m?

Za rešitev te naloge bomo uporabili principe ohranitve energije. Športnik se valja po pobočju, kar pomeni, da se njegova potencialna energija spreminja v kinetično energijo, ki je sestavljena iz translacijske in rotacijske kinetične energije. Ker telo valja brez podrsavanja, bomo upoštevali rotacijsko kinetično energijo valja.

### Podatki
- Masa \( m = 60 \, \text{kg} \)
- Gravitacijski pospešek \( g = 9.81 \, \text{m/s}^2 \)
- Naklonski kot \( \theta = 30^\circ \)
- Razdalja \( d = 10 \, \text{m} \)
- Polmer valja \( r = 0.15 \, \text{m} \) (premer je 30 cm, kar pomeni polmer 15 cm)

### Potencialna energija
Začetna potencialna energija (PE) na višini \( h \) je:
\[ PE = m \cdot g \cdot h \]

kjer je višina \( h \) določena z razdaljo \( d \) in kotom \( \theta \):
\[ h = d \cdot \sin(\theta) \]
\[ h = 10 \, \text{m} \cdot \sin(30^\circ) = 10 \, \text{m} \cdot 0.5 = 5 \, \text{m} \]

Torej, začetna potencialna energija je:
\[ PE = 60 \, \text{kg} \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 \cdot 5 \, \text{m} = 2943 \, \text{J} \]

### Kinetična energija
Končna kinetična energija (KE) je sestavljena iz translacijske in rotacijske kinetične energije. Za valj, ki se vrti brez podrsavanja, velja:
\[ KE = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} I \omega^2 \]

kjer je \( I \) moment vztrajnosti valja:
\[ I = \frac{1}{2} m r^2 \]

in kotna hitrost \( \omega \) je povezana s hitrostjo valja \( v \) z enačbo:
\[ \omega = \frac{v}{r} \]

Torej, rotacijska kinetična energija postane:
\[ \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} m r^2 \right) \left( \frac{v}{r} \right)^2 = \frac{1}{4} m v^2 \]

Skupna kinetična energija je torej:
\[ KE = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{4} m v^2 = \frac{3}{4} m v^2 \]

### Ohranitveni zakon
Po zakonu ohranitve energije velja:
\[ PE = KE \]
\[ 2943 \, \text{J} = \frac{3}{4} m v^2 \]
\[ 2943 \, \text{J} = \frac{3}{4} \cdot 60 \, \text{kg} \cdot v^2 \]
\[ 2943 \, \text{J} = 45 \, \text{kg} \cdot v^2 \]
\[ v^2 = \frac{2943 \, \text{J}}{45 \, \text{kg}} \]
\[ v^2 = 65.4 \, \text{m}^2/\text{s}^2 \]
\[ v = \sqrt{65.4} \, \text{m/s} \]
\[ v \approx 8.09 \, \text{m/s} \]

**Hitrost športnika, ko težišče prepotuje 10 m po pašniku, je približno 8.09 m/s.**

### Ali želite več podrobnosti ali imate kakšna vprašanja?

### Sorodna vprašanja:
1. Kako bi se hitrost spremenila, če bi bil naklonski kot večji?
2. Kako bi se hitrost spremenila, če bi bila masa športnika večja?
3. Kako bi se hitrost spremenila, če bi bil povprečni premer valja manjši?
4. Kako bi se hitrost spremenila, če bi športnik prepotoval daljšo razdaljo?
5. Kako bi izračunali hitrost, če bi telo podrsavalo?
6. Kako bi se hitrost spremenila, če bi športnik začel z začetno hitrostjo?
7. Kako bi se spremenila potencialna energija, če bi bila začetna višina višja?
8. Kako bi se izračunala kinetična energija, če bi bil valj poln vode?

### Nasvet
Pri reševanju problemov z naklonom vedno preverite, ali je potreben kot v stopinjah ali radianih, in ga pravilno pretvorite, da dosežete pravilne rezultate.

Calculate the speed of a sportsperson rolling down an incline using principles of conservation of energy. Learn about potential energy, kinetic energy, and rotational motion. Problem includes data such as mass, height, incline angle, and roller diameter.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation