Dans une étude sur l'estimation de la fréquentation du lieu historique national des Fortifications-de-Québec, on veut évaluer la fiabilité de compteurs magnétiques utilisés pour mesurer la variation de la fréquentation temporelle. L'évaluation s'est déroulée durant 11 journées, et ceci en deux horaires pour couvrir la fréquentation non seulement pendant la journée, mais aussi tôt en soirée.

Le nombre de personnes fréquentant les Fortifications a été dénombré manuellement. On a relevé également le nombre de passages perçus par les compteurs magnétiques.

Les données ci-dessous est un extrait de l'échantillon.

Nombre réel de personnes

Nombre perçu par le compteur

25

11

23

20

21

13

29

22

35

16

On veut effectuer une régression linéaire simple entre le nombre réel de personnes dénombrées manuellement (Y) et le nombre de passages perçus par les compteurs magnétiques (X).

On a obtenu les calculs préliminaires suivants:    Ex = 764 ; Ex^2 = 31678 ; Ey = 1396 ; Ey^2 = 111348 ; Exy = 58664 ; n= 22 Quelle est la valeur de la variation due à la régression (SCR) ?

Pour trouver la variation due à la régression (SCR), nous devons d'abord calculer quelques paramètres importants de la régression linéaire simple. Les étapes de calcul sont les suivantes:

1. **Calculer la moyenne de \(X\) et \(Y\)**:
   \[
   \bar{X} = \frac{\sum X}{n} = \frac{764}{22} \approx 34.73
   \]
   \[
   \bar{Y} = \frac{\sum Y}{n} = \frac{1396}{22} \approx 63.45
   \]

2. **Calculer la pente \(b\) et l'ordonnée à l'origine \(a\) de la droite de régression**:
   \[
   b = \frac{n \sum (XY) - \sum X \sum Y}{n \sum X^2 - (\sum X)^2}
   \]
   \[
   a = \bar{Y} - b \bar{X}
   \]

   En substituant les valeurs fournies:
   \[
   b = \frac{22 \cdot 58664 - 764 \cdot 1396}{22 \cdot 31678 - 764^2}
   \]
   \[
   b = \frac{1288608 - 1068144}{696916 - 583216}
   \]
   \[
   b = \frac{220464}{113700} \approx 1.94
   \]

   Ensuite, pour trouver \(a\):
   \[
   a = 63.45 - 1.94 \cdot 34.73
   \]
   \[
   a = 63.45 - 67.38 \approx -3.93
   \]

3. **Calculer les valeurs prédites \(\hat{Y}\)** pour chaque \(X\)**:
   \[
   \hat{Y} = a + bX
   \]

4. **Calculer la variation due à la régression (SCR)**:
   \[
   SCR = \sum (\hat{Y} - \bar{Y})^2
   \]

   Cependant, une formule équivalente pour SCR peut être utilisée:
   \[
   SCR = b \cdot \sum (XY) - n \cdot \bar{Y} \cdot \bar{X}
   \]

   En substituant les valeurs trouvées:
   \[
   SCR = 1.94 \cdot 58664 - 22 \cdot 63.45 \cdot 34.73
   \]
   \[
   SCR = 113792.16 - 48579.82
   \]
   \[
   SCR \approx 65212.34
   \]

La variation due à la régression (SCR) est donc environ 65212.34.

Voulez-vous plus de détails ou avez-vous des questions ? 

Voici 5 questions pour approfondir votre compréhension :
1. Comment interpréter la valeur de la pente dans une régression linéaire ?
2. Quelle est la différence entre SCR et la somme des carrés totale (SCT) ?
3. Comment peut-on évaluer la qualité de la régression linéaire ?
4. Quelles sont les hypothèses sous-jacentes d'une régression linéaire simple ?
5. Comment calculer la somme des carrés des résidus (SCE) ?

**Astuce**: Dans une régression linéaire simple, la pente indique le changement moyen de la variable dépendante pour chaque unité de changement de la variable indépendante.

Learn how to calculate the variation due to regression (SCR) in linear regression analysis with step-by-step calculations. This problem involves evaluating the reliability of magnetic counters used for measuring temporal attendance fluctuations at a historical site. Includes formulas for simple linear regression and sum of squares. Suitable for advanced undergraduate level.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation