Ein Schütze trifft das Ziel mit einer Wahrscheinlichkeit von p = 35%. Wie oft muss er auf das Ziel
schießen, damit die Wahrscheinlichkeit, das Ziel wenigstens einmal zu treffen, wenigstens 90%
beträgt?

Gegeben:
- Die Wahrscheinlichkeit, dass der Schütze das Ziel bei einem Schuss trifft, ist \( p = 0{,}35 \).
- Gesucht ist die Anzahl der Schüsse \( n \), sodass die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal zu treffen, mindestens \( 90\% \) beträgt.

**Lösungsansatz:**

1. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Schütze das Ziel bei einem Schuss **nicht** trifft, ist:
   \[
   q = 1 - p = 1 - 0{,}35 = 0{,}65
   \]

2. Die Wahrscheinlichkeit, dass er das Ziel bei **allen** \( n \) Schüssen nicht trifft, ist:
   \[
   P(\text{kein Treffer}) = q^n = 0{,}65^n
   \]

3. Die Wahrscheinlichkeit, **mindestens einmal zu treffen**, ist das Gegenereignis, also:
   \[
   P(\text{mindestens ein Treffer}) = 1 - q^n
   \]

4. Um eine Wahrscheinlichkeit von mindestens \( 90\% \) für mindestens einen Treffer zu erreichen, muss gelten:
   \[
   1 - 0{,}65^n \geq 0{,}90
   \]

5. Dies umgestellt ergibt:
   \[
   0{,}65^n \leq 0{,}10
   \]

6. Nun lösen wir diese Ungleichung durch Logarithmieren:
   \[
   n \cdot \ln(0{,}65) \leq \ln(0{,}10)
   \]
   \[
   n \geq \frac{\ln(0{,}10)}{\ln(0{,}65)}
   \]

Berechnen wir den Wert:

\[
n \geq \frac{\ln(0{,}10)}{\ln(0{,}65)} \approx \frac{-2{,}3026}{-0{,}4308} \approx 5{,}35
\]

Da \( n \) ganzzahlig sein muss, runden wir auf \( n = 6 \) auf.

**Antwort:** Der Schütze muss **mindestens 6-mal** auf das Ziel schießen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens \( 90\% \) mindestens einen Treffer zu erzielen.

Möchten Sie weitere Details oder haben Sie Fragen?

**Vertiefende Fragen:**
1. Wie würde sich die Lösung ändern, wenn die Trefferwahrscheinlichkeit \( p \) höher oder niedriger wäre?
2. Was wäre die Wahrscheinlichkeit, das Ziel genau zweimal zu treffen, wenn er 6-mal schießt?
3. Wie verändert sich die Anzahl der Schüsse, wenn wir eine Trefferwahrscheinlichkeit von 95% erreichen möchten?
4. Wie kann man die Berechnung auf ähnliche Probleme mit mehreren Ereignissen übertragen?
5. Welche Rolle spielen logarithmische Umformungen bei Wahrscheinlichkeitsproblemen wie diesem?

**Tipp:** Das Gegenereignis zu betrachten (in diesem Fall, **kein** Treffer bei allen Schüssen) vereinfacht oft Wahrscheinlichkeitsberechnungen.

Ein Schütze trifft das Ziel mit einer Wahrscheinlichkeit von p = 35%. Wie oft muss er auf das Ziel schießen, damit die Wahrscheinlichkeit, das Ziel wenigstens einmal zu treffen, wenigstens 90% beträgt?

Learn how to determine the minimum number of shots required for a shooter to achieve at least a 90% chance of hitting a target with a hit probability of 35%. This solution covers probability concepts and logarithmic inequalities, making it suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation