Gegeben:

• Die Wahrscheinlichkeit, dass der Schütze das Ziel bei einem Schuss trifft, ist $p = 0{,}35$.
• Gesucht ist die Anzahl der Schüsse $n$, sodass die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal zu treffen, mindestens $90\%$ beträgt.

Lösungsansatz:

1. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Schütze das Ziel bei einem Schuss nicht trifft, ist: $q = 1 - p = 1 - 0{,}35 = 0{,}65$

2. Die Wahrscheinlichkeit, dass er das Ziel bei allen $n$ Schüssen nicht trifft, ist: $P(\text{kein Treffer}) = q^n = 0{,}65^n$

3. Die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal zu treffen, ist das Gegenereignis, also: $P(\text{mindestens ein Treffer}) = 1 - q^n$

4. Um eine Wahrscheinlichkeit von mindestens $90\%$ für mindestens einen Treffer zu erreichen, muss gelten: $1 - 0{,}65^n \geq 0{,}90$

5. Dies umgestellt ergibt: $0{,}65^n \leq 0{,}10$

6. Nun lösen wir diese Ungleichung durch Logarithmieren: $n \cdot \ln(0{,}65) \leq \ln(0{,}10)$ $n \geq \frac{\ln(0{,}10)}{\ln(0{,}65)}$

Berechnen wir den Wert:

$n \geq \frac{\ln(0{,}10)}{\ln(0{,}65)} \approx \frac{-2{,}3026}{-0{,}4308} \approx 5{,}35$

Da $n$ ganzzahlig sein muss, runden wir auf $n = 6$ auf.

Antwort: Der Schütze muss mindestens 6-mal auf das Ziel schießen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $90\%$ mindestens einen Treffer zu erzielen.

Möchten Sie weitere Details oder haben Sie Fragen?

Vertiefende Fragen:

1. Wie würde sich die Lösung ändern, wenn die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ höher oder niedriger wäre?
2. Was wäre die Wahrscheinlichkeit, das Ziel genau zweimal zu treffen, wenn er 6-mal schießt?
3. Wie verändert sich die Anzahl der Schüsse, wenn wir eine Trefferwahrscheinlichkeit von 95% erreichen möchten?
4. Wie kann man die Berechnung auf ähnliche Probleme mit mehreren Ereignissen übertragen?
5. Welche Rolle spielen logarithmische Umformungen bei Wahrscheinlichkeitsproblemen wie diesem?

Tipp: Das Gegenereignis zu betrachten (in diesem Fall, kein Treffer bei allen Schüssen) vereinfacht oft Wahrscheinlichkeitsberechnungen.