Para resolver la integral de línea $\int_{c} f(z) \, dz$ donde $f(z) = \sin(\pi iz) + \frac{1}{(z - e^{\pi i/3})^2}$ y la curva $c$ está definida en el plano complejo como se muestra en la imagen, podemos proceder de la siguiente manera:

Paso 1: Análisis de la función $f(z)$

La función $f(z)$ está compuesta por dos términos:

1. $\sin(\pi iz)$: una función entera (holomorfa en todo $\mathbb{C}$).
2. $\frac{1}{(z - e^{\pi i/3})^2}$: una función que tiene un polo de orden 2 en $z = e^{\pi i/3}$.

Paso 2: Identificación de los puntos singulares

La única singularidad de $f(z)$ es el polo de orden 2 en $z = e^{\pi i/3}$.

Paso 3: Curva de integración

La curva $c$ está compuesta por dos segmentos:

• $C_1$: De $0$ a $i$.
• $C_2$: De $i$ a $1+i$.

Debemos considerar cómo la singularidad afecta la integral sobre cada segmento de la curva.

Paso 4: Uso de la teoría de residuos

Como $e^{\pi i/3} \approx 0.5 + 0.866i$ no está sobre la curva $c$, podemos aplicar el Teorema Integral de Cauchy y el Teorema de los residuos.

Integral sobre $C_1$ (de $0$ a $i$)

En este segmento, evaluamos la integral: $\int_{C_1} \sin(\pi iz) \, dz + \int_{C_1} \frac{1}{(z - e^{\pi i/3})^2} \, dz$

Para $\sin(\pi iz)$, dado que $\sin(\pi iz)$ es holomorfa en todo el plano complejo, la integral de una función holomorfa sobre cualquier camino cerrado es cero si no contiene singularidades: $\int_{C_1} \sin(\pi iz) \, dz = 0$

Para $\frac{1}{(z - e^{\pi i/3})^2}$, aunque no es holomorfa en todo el plano, podemos notar que la singularidad no está en la trayectoria de integración: $\int_{C_1} \frac{1}{(z - e^{\pi i/3})^2} \, dz = 0$

Integral sobre $C_2$ (de $i$ a $1+i$)

De manera similar: $\int_{C_2} \sin(\pi iz) \, dz + \int_{C_2} \frac{1}{(z - e^{\pi i/3})^2} \, dz$

Aplicando la misma lógica: $\int_{C_2} \sin(\pi iz) \, dz = 0$ $\int_{C_2} \frac{1}{(z - e^{\pi i/3})^2} \, dz = 0$

Paso 5: Sumar las contribuciones de los segmentos

Dado que ambas integrales sobre $C_1$ y $C_2$ son cero, la integral total es: $\int_{c} f(z) \, dz = \int_{C_1} f(z) \, dz + \int_{C_2} f(z) \, dz = 0 + 0 = 0$

Conclusión

La integral de línea $\int_{c} f(z) \, dz$ es igual a cero, ya que $f(z)$ no tiene singularidades en la curva de integración $c$.

¿Desea más detalles sobre algún paso o tiene alguna pregunta adicional?

Aquí hay 5 preguntas que puede considerar:

1. ¿Cómo se aplican los teoremas de Cauchy y de los residuos en integrales de línea?
2. ¿Qué son los puntos singulares y cómo afectan las integrales de línea en análisis complejo?
3. ¿Cuál es la importancia de las funciones holomorfas en el análisis complejo?
4. ¿Cómo se determina si una función tiene polos y cuál es su orden?
5. ¿Qué otros métodos existen para evaluar integrales de línea en el plano complejo?

Tip: Siempre verifique si hay singularidades dentro de la curva de integración antes de aplicar teoremas en análisis complejo.