Garis yang ditarik dari titik A (1,-2) menyinggung lingkaran x ^ 2 + y ^ 2 + 3x - 4y = 0 di titik B, panjang gari AB

Untuk menemukan panjang garis AB yang menyinggung lingkaran dari titik A (1,-2) ke titik B pada lingkaran yang memiliki persamaan \(x^2 + y^2 + 3x - 4y = 0\), kita dapat mengikuti langkah-langkah berikut:

1. **Persamaan Lingkaran**:  
   Lingkaran tersebut memiliki persamaan:
   \[
   x^2 + y^2 + 3x - 4y = 0
   \]
   Kita bisa menuliskan persamaan ini dalam bentuk standar \((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2\) dengan melengkapkan kuadrat.

2. **Melengkapkan Kuadrat**:
   \[
   x^2 + 3x + y^2 - 4y = 0
   \]
   Untuk melengkapkan kuadrat, kita tambahkan dan kurangkan bilangan yang diperlukan:
   \[
   \left(x^2 + 3x + \frac{9}{4}\right) + \left(y^2 - 4y + 4\right) = \frac{9}{4} + 4
   \]
   \[
   \left(x + \frac{3}{2}\right)^2 + (y - 2)^2 = \frac{25}{4}
   \]
   Jadi, bentuk standar persamaan lingkarannya adalah:
   \[
   \left(x + \frac{3}{2}\right)^2 + (y - 2)^2 = \left(\frac{5}{2}\right)^2
   \]
   Dari sini, pusat lingkaran adalah \( C = \left(-\frac{3}{2}, 2\right) \) dan jari-jarinya adalah \( r = \frac{5}{2} \).

3. **Panjang Garis Singgung**:
   Panjang garis singgung dari titik A ke lingkaran dapat dihitung dengan rumus:
   \[
   L = \sqrt{(x_1 - h)^2 + (y_1 - k)^2 - r^2}
   \]
   Di mana \( (x_1, y_1) \) adalah titik A dan \( (h, k) \) adalah pusat lingkaran.
   \[
   L = \sqrt{\left(1 + \frac{3}{2}\right)^2 + \left(-2 - 2\right)^2 - \left(\frac{5}{2}\right)^2}
   \]
   \[
   L = \sqrt{\left(\frac{5}{2}\right)^2 + (-4)^2 - \left(\frac{5}{2}\right)^2}
   \]
   \[
   L = \sqrt{\frac{25}{4} + 16 - \frac{25}{4}}
   \]
   \[
   L = \sqrt{16} = 4
   \]
   
   Jadi, panjang garis AB adalah 4 satuan panjang.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan lain?

**Pertanyaan Terkait:**
1. Bagaimana cara mengidentifikasi pusat dan jari-jari lingkaran dari persamaan kuadrat umum?
2. Mengapa perlu melengkapkan kuadrat untuk mengubah persamaan lingkaran ke bentuk standar?
3. Apa makna geometris dari panjang garis singgung dari suatu titik ke lingkaran?
4. Bagaimana rumus panjang garis singgung berubah jika titik A berada di dalam lingkaran?
5. Bagaimana menghitung panjang garis AB jika titik A berada di dalam lingkaran?

**Tip:** Melengkapkan kuadrat adalah teknik penting untuk mengubah persamaan kuadrat menjadi bentuk yang lebih mudah dianalisis, terutama untuk lingkaran, elips, dan hiperbola.

Learn how to calculate the length of the tangent line from point A (1,-2) to circle x^2 + y^2 + 3x - 4y = 0. This problem involves finding the tangent point, applying the distance formula, and understanding circle geometry. Suitable for advanced high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation