Die Verdoppelungszeit beschreibt den Zeitraum, in dem sich eine Größe verdoppelt, wenn sie einem exponentiellen Wachstum unterliegt. Um die Verdoppelungszeit zu berechnen, kann die sogenannte **70er-Regel** (oder 72er-Regel) verwendet werden. Diese basiert auf einer Näherung und ist besonders praktisch, wenn die Wachstumsrate in Prozent angegeben wird.

### Schritte zur Berechnung der Verdoppelungszeit:

1. **Wachstumsrate bestimmen**: Finde die exponentielle Wachstumsrate \( r \) in Prozent pro Zeiteinheit (z. B. pro Jahr oder pro Tag).
   
2. **Formel für die Verdoppelungszeit anwenden**: Die ungefähre Verdoppelungszeit \( T_{\text{dopp}} \) ergibt sich nach der 70er-Regel durch:
   \[
   T_{\text{dopp}} = \frac{70}{r}
   \]
   oder mit der 72er-Regel:
   \[
   T_{\text{dopp}} = \frac{72}{r}
   \]

### Beispiel:
Wenn eine Population um **5 %** pro Jahr wächst, dann beträgt die Verdoppelungszeit:
\[
T_{\text{dopp}} = \frac{70}{5} = 14 \text{ Jahre}.
\]
Das bedeutet, dass sich die Population in 14 Jahren verdoppeln würde.

### Exakte Formel:
Die exakte Verdoppelungszeit bei einem exponentiellen Wachstumsprozess kann auch direkt mit der Wachstumsrate \( r \) (in Dezimalform) berechnet werden. Die Formel lautet:
\[
T_{\text{dopp}} = \frac{\ln(2)}{\ln(1 + r)}
\]
Für \( r = 0{,}05 \) (das entspricht 5 % Wachstum pro Jahr) wäre die exakte Verdoppelungszeit:
\[
T_{\text{dopp}} = \frac{\ln(2)}{\ln(1{,}05)} \approx 14{,}21 \text{ Jahre}.
\]

Möchtest du weitere Details zu einem bestimmten Schritt oder hast du Fragen?

Hier sind 5 Fragen, die darauf aufbauen:
1. Wie unterscheidet sich die exakte Formel von der Näherung?
2. Kann die Verdoppelungszeit auch bei negativen Wachstumsraten angewendet werden?
3. Wie bestimmt man die Verdoppelungszeit in nicht-linearen Systemen?
4. In welchen Bereichen wird die Verdoppelungszeit in der Praxis häufig verwendet?
5. Wie wirkt sich eine Änderung der Wachstumsrate auf die Verdoppelungszeit aus?

**Tipp:** Die 70er- bzw. 72er-Regel ist eine nützliche Faustregel für schnelle Schätzungen, aber für genaue Berechnungen sollte die logarithmische Formel verwendet werden.

Learn how to calculate doubling time in exponential growth scenarios using the 70er-Regel and the exact logarithmic formula. This step-by-step guide explains both the approximation method and the precise calculation, suitable for high school students in Grades 10-12.

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