Vom Heißluftballon der Universität kann man die beiden Orte A und B sehen. Die beiden Orte liegen 2300m voneinander entfernt und vom Heißluftballon kann man sie unter den Winkelweiten α=62∘ und β=22∘ anpeilen. In welcher Höhe h schwebt der Ballon (Punkt C) über dem Punkt G. Runden Sie Ihr Ergebnis auf zwei Nachpunktstellen. h=  

Das Problem beschreibt eine Situation, bei der ein Heißluftballon an einem Punkt \( C \) über dem Punkt \( G \) schwebt, und zwei Orte \( A \) und \( B \), die horizontal 2300 m voneinander entfernt sind, von \( C \) aus unter den Winkelweiten \( \alpha = 62^\circ \) und \( \beta = 22^\circ \) angepeilt werden.

Hierbei können wir ein rechtwinkliges Dreieck verwenden, um die Höhe \( h \) des Ballons zu berechnen. Dies ist ein klassisches Anwendungsbeispiel der **Sinussatzes** in der Trigonometrie.

### Schritt-für-Schritt-Lösung:

1. **Verwende den Sinussatz**:
   Der Sinussatz lautet:
   \[
   \frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}
   \]
   wobei \( c = 2300 \, \text{m} \), und \( \alpha \) und \( \beta \) die Winkelweiten sind.

2. **Berechne den Winkel \( \gamma \)**:
   Da es sich um ein Dreieck handelt, gilt:
   \[
   \gamma = 180^\circ - \alpha - \beta
   \]
   Einsetzen der Winkelwerte:
   \[
   \gamma = 180^\circ - 62^\circ - 22^\circ = 96^\circ
   \]

3. **Bestimme die Abstände von C zu A und C zu B**:
   Der Abstand \( CA \) lässt sich mit dem Sinussatz berechnen:
   \[
   \frac{CA}{\sin(\beta)} = \frac{AB}{\sin(\gamma)}
   \]
   Daraus folgt:
   \[
   CA = \frac{AB \cdot \sin(\beta)}{\sin(\gamma)}
   = \frac{2300 \cdot \sin(22^\circ)}{\sin(96^\circ)}
   \]

   Ähnlich lässt sich der Abstand \( CB \) bestimmen.

4. **Berechne die Höhe \( h \) mit Hilfe der Tangensfunktion**:
   Da der Ballon in der Höhe \( h \) schwebt, können wir mit dem Tangenssatz arbeiten:
   \[
   h = CA \cdot \sin(\alpha)
   \]

   Ich werde die Berechnungen durchführen.

Vom Heißluftballon der Universität kann man die beiden Orte A und B sehen. Die beiden Orte liegen 2300m voneinander entfernt und vom Heißluftballon kann man sie unter den Winkelweiten α=62∘ und β=22∘ anpeilen. In welcher Höhe h schwebt der Ballon (Punkt C) über dem Punkt G? Runden Sie Ihr Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

Calculate the height of a balloon hovering over point G by using the sine law and trigonometry. The balloon sights two points A and B, which are 2300m apart, at angles α=62° and β=22°. Step-by-step explanation for determining the height of the balloon over the ground.

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