Për të llogaritur sipërfaqen e zonës së kufizuar nga parabola $y = x^2 - 2x$ dhe drejtëza $x = -3$, ne duhet të përcaktojmë kufijtë e integrimit dhe të përdorim integrimin për të gjetur këtë sipërfaqe.

1. Identifikimi i funksioneve: Parabola është e dhënë me $y = x^2 - 2x$. Në këtë rast, drejtëza $x = -3$ nuk përfaqëson një funksion të zakonshëm të formës $y = f(x)$, por thjesht është një kufi vertikal.

2. Vendosja e kufijve të integrimit: Sipërfaqja që na kërkohet të llogarisim është nën parabolen $y = x^2 - 2x$ dhe e kufizuar nga $x = -3$. Kufiri tjetër duhet të jetë pika e prerjes së paraboles me aksin $x$. Kjo ndodh kur $y = 0$:

   $x^2 - 2x = 0$ $x(x - 2) = 0$ Pra, $x = 0$ ose $x = 2$.

   Kështu që ne duhet të llogarisim sipërfaqen ndërmjet $x = -3$ dhe $x = 0$.

3. Formula e sipërfaqes: Sipërfaqja nën një kurbë jepet nga integrali i funksionit në kufijtë përkatës. Në këtë rast, duhet të integrojmë $y = x^2 - 2x$ nga $x = -3$ në $x = 0$.

   Pra, sipërfaqja $A$ është: $A = \int_{-3}^{0} (x^2 - 2x) \, dx$

4. Llogaritja e integralit:

$A = \int_{-3}^{0} (x^2 - 2x) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 \right]_{-3}^{0}$

Kur aplikojmë kufijtë:

$A = \left( \left(\frac{0^3}{3} - 0^2 \right) - \left( \frac{(-3)^3}{3} - (-3)^2 \right) \right)$

$A = \left( 0 - \left( \frac{-27}{3} - 9 \right) \right)$

$A = \left( 0 - \left( -9 - 9 \right) \right) = 18$

Pra, sipërfaqja e kërkuar është $A = 18$ njësi katrore.

---

A dëshiron më shumë detaje për hapat e llogaritjes apo ndonjë sqarim tjetër?

Pyetje të lidhura:

1. Si llogaritet sipërfaqja e një rajoni të kufizuar nga dy parabola?
2. Çfarë ndodh nëse parabola është e zhvendosur në ndonjë drejtim?
3. Si mund të gjej pikat e prerjes së një parabole me një drejtëz tjetër?
4. Si llogaritet vëllimi i një trupi të rrotulluar rreth boshtit $x$ nën një kurbë si kjo parabole?
5. Si ndikon drejta $x = -3$ në formën e rajonit të kufizuar?

Këshillë: Kur integron për të llogaritur sipërfaqe, sigurohu që drejtëza ose parabola që kufizon zonën është qartësisht e definuar mbi kufijtë që përdor për integrimin.