Dadas las funciones f(x)=-1/2 x^2+3x+4 y g(x)=x/4+5/2 Calcula el área de la región delimitada por las funciones, mediante la integral definida. Anexa el procedimiento completo.

Para encontrar el área de la región delimitada por las funciones \( f(x) \) y \( g(x) \), debemos primero encontrar los puntos de intersección de estas funciones. Luego, calculamos el área entre las curvas utilizando la integral definida.

### 1. Encontrar los puntos de intersección
Para encontrar los puntos de intersección, igualamos \( f(x) \) y \( g(x) \):

\[
f(x) = g(x)
\]

\[
-\frac{1}{2}x^2 + 3x + 4 = \frac{x}{4} + \frac{5}{2}
\]

Multiplicamos todos los términos por 4 para eliminar el denominador:

\[
-2x^2 + 12x + 16 = x + 10
\]

\[
-2x^2 + 12x + 16 - x - 10 = 0
\]

\[
-2x^2 + 11x + 6 = 0
\]

Ahora resolvemos esta ecuación cuadrática:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

\[
x = \frac{-11 \pm \sqrt{11^2 - 4(-2)(6)}}{2(-2)}
\]

\[
x = \frac{-11 \pm \sqrt{121 + 48}}{-4}
\]

\[
x = \frac{-11 \pm \sqrt{169}}{-4}
\]

\[
x = \frac{-11 \pm 13}{-4}
\]

Obtenemos dos soluciones:

\[
x_1 = \frac{-11 + 13}{-4} = -\frac{1}{2}
\]

\[
x_2 = \frac{-11 - 13}{-4} = 6
\]

Los puntos de intersección son \( x = -\frac{1}{2} \) y \( x = 6 \).

### 2. Calcular el área entre las curvas
El área entre dos curvas se calcula con la integral definida de la diferencia de las funciones en los límites de integración:

\[
A = \int_{a}^{b} (g(x) - f(x)) \, dx
\]

Para \( g(x) - f(x) \), tenemos:

\[
g(x) - f(x) = \left(\frac{x}{4} + \frac{5}{2}\right) - \left(-\frac{1}{2}x^2 + 3x + 4\right)
\]

\[
g(x) - f(x) = \frac{x}{4} + \frac{5}{2} + \frac{1}{2}x^2 - 3x - 4
\]

\[
g(x) - f(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{11}{4}x - \frac{3}{2}
\]

Ahora, integramos esta función de \( x = -\frac{1}{2} \) a \( x = 6 \):

\[
A = \int_{-\frac{1}{2}}^{6} \left(\frac{1}{2}x^2 - \frac{11}{4}x - \frac{3}{2}\right) dx
\]

Calculemos la integral:

\[
A = \left[ \frac{1}{6}x^3 - \frac{11}{8}x^2 - \frac{3}{2}x \right]_{-\frac{1}{2}}^{6}
\]

Evaluamos en los límites:

Para \( x = 6 \):

\[
\frac{1}{6}(6)^3 - \frac{11}{8}(6)^2 - \frac{3}{2}(6) = 36 - 49.5 - 9 = -22.5
\]

Para \( x = -\frac{1}{2} \):

\[
\frac{1}{6}\left(-\frac{1}{2}\right)^3 - \frac{11}{8}\left(-\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{3}{2}\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{48} - \frac{11}{32} + \frac{3}{4}
\]

\[
= -0.02083 - 0.34375 + 0.75 = 0.38542
\]

\[
A = -22.5 - 0.38542 = -22.88542
\]

El área entre las curvas es aproximadamente 22.89 unidades cuadradas.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

---

**Preguntas Relacionadas:**
1. ¿Cómo se determina la intersección de dos curvas de forma general?
2. ¿Qué otros métodos se pueden usar para calcular el área entre curvas?
3. ¿Cómo se aplican los teoremas fundamentales del cálculo en la integral definida?
4. ¿Cuándo se debe dividir una región en partes para calcular el área?
5. ¿Qué ocurre si las curvas se cruzan más de dos veces?
6. ¿Cómo afecta un cambio en una función a la región delimitada?
7. ¿Qué significa la integral definida en el contexto de áreas bajo la curva?
8. ¿Cómo se puede verificar el resultado obtenido en este tipo de problemas?

**Tip:** Al integrar una función para encontrar el área entre curvas, es importante siempre restar la función inferior de la superior en el intervalo dado.

Learn how to calculate the area between the curves defined by the functions f(x) = -1/2 x^2 + 3x + 4 and g(x) = x/4 + 5/2 using definite integration. Includes step-by-step procedure, intersection points, and integral calculation. Suitable for advanced high school and college-level students.

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