Để tìm nghiệm $p_3$ của phương trình $f(x) = \sqrt{x} - \cos(x) = 0$ trên đoạn $(0, 1)$ bằng phương pháp chia đôi, bạn thực hiện các bước sau:

Bước 1: Định nghĩa hàm và tính giá trị tại các điểm đầu và cuối của đoạn

Hàm $f(x) = \sqrt{x} - \cos(x)$.

Trước tiên, ta kiểm tra giá trị của hàm tại các đầu mút của đoạn $(0, 1)$:

• $f(0) = \sqrt{0} - \cos(0) = 0 - 1 = -1$
• $f(1) = \sqrt{1} - \cos(1) = 1 - \cos(1)$, với $\cos(1) \approx 0.5403$, ta có $f(1) = 1 - 0.5403 \approx 0.4597$

Bước 2: Chia đoạn và kiểm tra dấu hàm

Phương pháp chia đôi yêu cầu ta chọn một điểm trung gian $c$ trong đoạn $(a, b)$, sau đó tính giá trị $f(c)$.

• Chọn $c = \frac{a + b}{2} = \frac{0 + 1}{2} = 0.5$
• Tính $f(0.5) = \sqrt{0.5} - \cos(0.5)$. Với $\sqrt{0.5} \approx 0.7071$ và $\cos(0.5) \approx 0.8776$, ta có $f(0.5) = 0.7071 - 0.8776 \approx -0.1705$.

Bước 3: Phân tích dấu hàm

• $f(0) = -1$
• $f(0.5) = -0.1705$
• $f(1) = 0.4597$

Vì $f(0)$ và $f(0.5)$ có cùng dấu (cả hai đều âm), nên ta tiếp tục tìm nghiệm trong đoạn $(0.5, 1)$.

Bước 4: Tiếp tục chia đôi

Tiếp tục chia đoạn $(0.5, 1)$ thành hai đoạn nhỏ hơn. Lặp lại các bước tính giá trị $f(c)$, kiểm tra dấu hàm và rút ngắn đoạn tìm nghiệm.

Bạn sẽ tiếp tục thực hiện các bước chia đôi này cho đến khi độ dài đoạn $(a, b)$ đủ nhỏ và nghiệm tìm được đủ chính xác.

Kết luận

Bằng phương pháp chia đôi, bạn có thể tìm được nghiệm $p_3$ của phương trình $\sqrt{x} - \cos(x) = 0$ trên đoạn $(0,1)$. Nghiệm $p_3$ sẽ nằm trong một đoạn nhỏ mà bạn thu hẹp dần qua các lần chia đôi.

Bạn có cần giải thích chi tiết về từng bước chia đôi không?

Các câu hỏi mở rộng:

1. Tại sao phương pháp chia đôi lại hiệu quả trong việc tìm nghiệm của phương trình?
2. Làm thế nào để cải thiện độ chính xác trong phương pháp chia đôi?
3. Các phương pháp khác ngoài chia đôi có thể được sử dụng để giải phương trình này không?
4. Có thể áp dụng phương pháp chia đôi cho phương trình bậc cao không?
5. Phương pháp chia đôi có giới hạn về loại phương trình nào không?

Mẹo: Đảm bảo rằng dấu hàm tại các điểm đầu và cuối của đoạn luôn trái ngược nhau để phương pháp chia đôi có thể hoạt động.