Diberikan fungsi $f: A \to B$ dengan definisi:

$f(x) := \frac{4x}{x - 2}$

Kita diminta menentukan domain $A$ dan kodomain $B$ agar fungsi $f$ menjadi bijektif, dan kemudian menentukan formula inversnya.

1. Domain $A$ untuk Fungsi Biasa

Untuk menentukan domain $A$, kita perhatikan bahwa fungsi ini merupakan fungsi rasional, sehingga kita perlu memastikan bahwa penyebutnya tidak sama dengan nol. Penyebut dari fungsi $f(x)$ adalah $x - 2$, jadi kita perlu menghindari $x = 2$.

Jadi, domain $A$ adalah semua real number kecuali 2, yakni:

$A = \mathbb{R} \setminus \{2\}$

2. Sifat Bijektif (Injectif dan Surjektif)

Agar fungsi $f$ bijektif, fungsi ini harus:

• Injectif (satu-satu): Setiap nilai dari $f(x)$ harus memiliki tepat satu nilai $x$.
• Surjektif (onto): Setiap elemen di kodomain $B$ harus merupakan citra dari setidaknya satu elemen di domain $A$.

a. Cek Injectif

Untuk memastikan bahwa fungsi ini injectif, kita perlu memeriksa apakah fungsi ini monoton, karena fungsi monoton pasti injectif.

Derivatif pertama $f(x)$ adalah:

$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{4x}{x - 2} \right)$

Menggunakan aturan hasil bagi, kita dapatkan:

$f'(x) = \frac{(x-2)(4) - 4x(1)}{(x-2)^2} = \frac{4x - 8 - 4x}{(x-2)^2} = \frac{-8}{(x-2)^2}$

Karena $(x - 2)^2 > 0$ untuk $x \neq 2$, maka $f'(x) < 0$. Artinya, fungsi ini selalu menurun (monoton turun) pada domain $A$, sehingga injectif.

b. Cek Surjektif

Untuk surjektif, kita harus memastikan bahwa fungsi $f$ mencakup semua nilai di kodomain $B$. Nilai-nilai yang tidak mungkin dicapai oleh $f(x)$ adalah asimtotnya. Dari bentuk fungsi $f(x) = \frac{4x}{x - 2}$, kita lihat bahwa terdapat asimtot horizontal ketika $x \to \infty$, yaitu $f(x) \to 4$.

Maka, agar fungsi ini surjektif, kodomain $B$ adalah semua bilangan real kecuali 4, yaitu:

$B = \mathbb{R} \setminus \{4\}$

3. Formula Invers

Untuk menentukan formula invers $f^{-1}(x)$, kita mulai dari persamaan fungsi asli:

$y = \frac{4x}{x - 2}$

Selanjutnya, kita tukar $x$ dan $y$ untuk mendapatkan persamaan inversnya:

$x = \frac{4y}{y - 2}$

Sekarang, kita selesaikan untuk $y$:

$x(y - 2) = 4y$

$xy - 2x = 4y$

$xy - 4y = 2x$

$y(x - 4) = 2x$

$y = \frac{2x}{x - 4}$

Jadi, formula inversnya adalah:

$f^{-1}(x) = \frac{2x}{x - 4}$

Kesimpulan:

• Domain $A = \mathbb{R} \setminus \{2\}$
• Kodomain $B = \mathbb{R} \setminus \{4\}$
• Formula inversnya adalah $f^{-1}(x) = \frac{2x}{x - 4}$

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan lain?

---

Berikut 5 pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara memastikan fungsi rasional lainnya bijektif?
2. Mengapa monotonicity (fungsi monoton) berkaitan dengan sifat injectif?
3. Apakah ada metode lain untuk menemukan invers dari fungsi rasional?
4. Bagaimana grafik dari fungsi ini membantu dalam memahami sifat bijektif?
5. Apakah ada hubungan khusus antara domain/kodomain dan invers suatu fungsi?

Tip: Saat mencari invers fungsi, selalu tukar variabel $x$ dan $y$ lalu selesaikan untuk $y$.