برای محاسبه میانگین مرتبه زمانی الگوریتم Quickselect، ابتدا لازم است تحلیل کنیم که این الگوریتم چگونه کار می‌کند و سپس با استفاده از امید ریاضی، زمان اجرای میانگین آن را محاسبه کنیم.

الگوریتم Quickselect

Quickselect یکی از الگوریتم‌های جستجو است که برای یافتن $k$-امین کوچک‌ترین یا بزرگ‌ترین عنصر در یک آرایه استفاده می‌شود. این الگوریتم مشابه QuickSort عمل می‌کند، با این تفاوت که فقط بر روی بخش مورد نیاز آرایه تقسیم‌بندی انجام می‌دهد.

تحلیل مرتبه زمانی Quickselect

به منظور تحلیل میانگین زمان اجرا (Average Case Time Complexity) از تقسیم و غلبه استفاده می‌کنیم. اگر $T(n)$ میانگین زمان اجرای الگوریتم برای ورودی با طول $n$ باشد، می‌توان رابطه بازگشتی آن را به صورت زیر نوشت:

$T(n) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left( T(\max(i-1, n-i)) \right) + O(n)$

در اینجا $O(n)$ نشان‌دهنده زمانی است که برای تقسیم‌بندی (Partition) صرف می‌شود و بخش بازگشتی مربوط به انتخاب بخش مناسب (چپ یا راست) آرایه است که جستجو در آن ادامه خواهد یافت.

امید ریاضی (Expected Running Time)

فرض می‌کنیم که انتخاب پیوت تصادفی است. برای سادگی محاسبات، فرض کنید در هر مرحله احتمال انتخاب هر پیوت یکسان و برابر با $\frac{1}{n}$ باشد. بنابراین در حالت میانگین، زمان اجرای الگوریتم به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$T(n) = O(n) + \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} T(\max(i-1, n-i))$

اکنون به تحلیل دقیق‌تر این رابطه می‌پردازیم. در میانگین، الگوریتم تقریباً نصف آرایه را پردازش خواهد کرد، بنابراین می‌توانیم تقریب بزنیم که:

$T(n) \approx T\left(\frac{n}{2}\right) + O(n)$

با حل این رابطه بازگشتی، مرتبه زمانی میانگین الگوریتم $O(n)$ خواهد بود. یعنی میانگین مرتبه زمانی Quickselect به صورت خطی است.

نتیجه‌گیری:

• در حالت میانگین، زمان اجرای Quickselect برابر با $O(n)$ است، هرچند در بدترین حالت ممکن است به $O(n^2)$ برسد.

سوالات مرتبط:

1. چه تفاوت‌هایی بین Quickselect و QuickSort وجود دارد؟
2. چرا زمان میانگین Quickselect خطی است؟
3. بدترین حالت زمانی اجرای Quickselect چه زمانی رخ می‌دهد؟
4. چگونه انتخاب پیوت در Quickselect بر عملکرد آن تأثیر می‌گذارد؟
5. آیا می‌توان زمان اجرای Quickselect را با انتخاب پیوت‌های بهتر بهبود داد؟

نکته:

انتخاب مناسب پیوت می‌تواند تفاوت بزرگی در کارایی Quickselect ایجاد کند. به عنوان مثال، انتخاب پیوتی نزدیک به میانه آرایه باعث بهبود زمان اجرا می‌شود.