Math Problem Statement

Sort la fonction f definir pa f(x)=x au carre +1/x. 1- Montrer que la dtes y=x est asymptote (c) . 2- ecrire l'equation à la tgtes de f en xo=2 . 3- variation € graphe

Solution

Pour cette fonction ff définie par f(x)=x2+1xf(x) = x^2 + \frac{1}{x}, nous allons aborder les trois questions posées :

1. Montrer que la droite y=xy = x est asymptote (c)

Pour montrer que y=xy = x est une asymptote de la fonction f(x)f(x) en ++\infty et -\infty, il faut vérifier si : limx+(f(x)x)=0etlimx(f(x)x)=0\lim_{{x \to +\infty}} \left( f(x) - x \right) = 0 \quad \text{et} \quad \lim_{{x \to -\infty}} \left( f(x) - x \right) = 0

Calculons cette limite : f(x)x=x2+1xxf(x) - x = x^2 + \frac{1}{x} - x

Pour x+x \to +\infty (et xx \to -\infty), le terme x2x^2 domine les autres, donc f(x)x+f(x) - x \to +\infty. Il semble que la droite y=xy = x n’est pas une asymptote de f(x)f(x) pour les grandes valeurs de xx.

2. Écrire l’équation de la tangente à ff en x0=2x_0 = 2

Pour déterminer l'équation de la tangente en un point donné x0=2x_0 = 2, nous devons calculer la dérivée de ff et l'évaluer en x=2x = 2.

La dérivée de f(x)=x2+1xf(x) = x^2 + \frac{1}{x} est : f(x)=2x1x2f'(x) = 2x - \frac{1}{x^2}

En x0=2x_0 = 2, f(2)=22122=414=1614=154f'(2) = 2 \cdot 2 - \frac{1}{2^2} = 4 - \frac{1}{4} = \frac{16 - 1}{4} = \frac{15}{4}

Le point de tangence est (2,f(2))(2, f(2)), avec : f(2)=22+12=4+0.5=4.5f(2) = 2^2 + \frac{1}{2} = 4 + 0.5 = 4.5

L'équation de la tangente est donc : y4.5=154(x2)y - 4.5 = \frac{15}{4}(x - 2) ou, sous forme simplifiée : y=154x152+4.5y = \frac{15}{4}x - \frac{15}{2} + 4.5

3. Variation et graphe de ff

Pour étudier les variations de ff, analysons le signe de la dérivée f(x)=2x1x2f'(x) = 2x - \frac{1}{x^2} :

  • Lorsque x>0x > 0, f(x)>0f'(x) > 0, donc ff est croissante pour x>0x > 0.
  • Lorsque x<0x < 0, f(x)f'(x) peut changer de signe. Une analyse plus détaillée montrerait les variations pour x<0x < 0.

Pour le graphe, tracez les courbes en fonction des variations obtenues.

Voulez-vous plus de détails sur l'un de ces points ?


Questions supplémentaires :

  1. Comment détermine-t-on si une droite est une asymptote oblique pour une fonction donnée ?
  2. Quelles sont les étapes pour calculer la dérivée d'une fonction complexe comme x2+1xx^2 + \frac{1}{x} ?
  3. Pourquoi est-il important de calculer la dérivée pour trouver les variations d'une fonction ?
  4. Comment simplifier l'équation d'une tangente ?
  5. Quelles méthodes existent pour vérifier le comportement asymptotique d'une fonction pour des valeurs infinies de xx ?

Astuce : Pour vérifier si une droite est une asymptote, la limite de f(x)yf(x) - y doit tendre vers zéro à l'infini.

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Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Asymptotes
Tangents
Derivatives
Graphing Functions
Function Variations

Formulas

f(x) = x^2 + 1/x
f'(x) = 2x - 1/x^2
y - f(x0) = f'(x0)(x - x0)

Theorems

Asymptotic Behavior
Derivative and Tangent Line Theorem
Critical Points and Function Variations

Suitable Grade Level

Grades 11-12