Задача пов'язана з геометрією двогранних кутів та перетином площин. Давайте розглянемо, як розв'язати це завдання:

1. Нотатки та позначення:

   • Точка $P$ належить площині $\alpha$.
   • Точка $P$ належить грані двогранного кута, тому точка $P$ лежить на перетині двох площин $\alpha$ і $\beta$.
   • $\alpha \cap \beta = C$, де точка $C$ є точкою перетину площин.
   • Вектор $\overrightarrow{PC}$ належить площині $\beta$, а $\overrightarrow{PB}$ належить площині $\alpha$.
   • Дано: $PB = 10 \, \text{см}$ та $PC = 5\sqrt{3} \, \text{см}$.

2. Кроки для розв'язку: Щоб знайти кут між площинами $\alpha$ і $\beta$, можемо використати метод скалярного добутку векторів.

   • Вектор $\overrightarrow{PB}$ лежить в площині $\alpha$, а вектор $\overrightarrow{PC}$ — в площині $\beta$.
   • Кут між площинами можна знайти як кут між нормальними векторами до цих площин.

3. Розв'язок через нормальні вектори:

   • Якщо ми візьмемо нормальні вектори до площин $\alpha$ та $\beta$ (позначимо їх як $\vec{n}_\alpha$ і $\vec{n}_\beta$), то кут між площинами буде визначатися за допомогою скалярного добутку:

   $\cos \theta = \frac{\vec{n}_\alpha \cdot \vec{n}_\beta}{|\vec{n}_\alpha| |\vec{n}_\beta|}$

   Для визначення цих векторів нам потрібні додаткові умови, які б дозволяли сформулювати рівняння для нормальних векторів або скористатися тригонометричними властивостями.

4. Подальші уточнення: Щоб точніше вирішити задачу, мені потрібно більше інформації про відстань між точками або координати для побудови векторів. Можливо, в задачі вже є інші геометричні умови або рівняння, які б дозволили нам вивести точні формули для цих кутів.

Може, ви могли б уточнити умови чи подати діаграму або ще якісь дані?

---

Питання для подальшого дослідження:

1. Чи є якісь додаткові геометричні умови щодо відстаней або кутів?
2. Чи можна використати метод проекцій для розв'язання цієї задачі?
3. Як виглядають площини $\alpha$ і $\beta$ в загальному випадку?
4. Які властивості скалярного добутку можна застосувати до задачі?
5. Чи можна спростити задачу за допомогою симетрії або додаткових перетинів?

Порада: Спробуйте побудувати вектори нормалі для обох площин і застосувати їх для визначення кута між площинами.