A(3;5;4), B(5;8;3), C(1;2;-2), D(-1;0;-2) координати
Знайти кут між площиной BCD та прямою AB   
рівняння BCD в лінійному вигляді.  
прямої AB та ф кута.  
у відповіді повинно бути: кут, рівняння прямої і площини 

Щоб знайти кут між площиною \(BCD\) і прямою \(AB\), слід виконати наступні кроки:

### 1. Вектор прямої \(AB\)
Пряма визначається двома точками: \(A(3; 5; 4)\) та \(B(5; 8; 3)\).

Вектор \( \overrightarrow{AB} = B - A \):
\[
\overrightarrow{AB} = (5 - 3, 8 - 5, 3 - 4) = (2, 3, -1)
\]

### 2. Пошук рівняння площини \(BCD\)

Для цього знайдемо нормальний вектор площини \(BCD\). Вектори \(\overrightarrow{BC}\) та \(\overrightarrow{BD}\) можна знайти за різницею координат точок.

- Вектор \( \overrightarrow{BC} = C - B = (1 - 5, 2 - 8, -2 - 3) = (-4, -6, -5)\)
- Вектор \( \overrightarrow{BD} = D - B = (-1 - 5, 0 - 8, -2 - 3) = (-6, -8, -5)\)

Тепер знайдемо векторний добуток \( \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BD} \), який буде нормальним вектором площини:
\[
\overrightarrow{n} = \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BD} = 
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
-4 & -6 & -5 \\
-6 & -8 & -5
\end{vmatrix} = (10, 10, -12)
\]

Отже, нормальний вектор площини \(BCD\) — це \( \overrightarrow{n} = (10, 10, -12) \).

Рівняння площини має вигляд:
\[
10(x - 5) + 10(y - 8) - 12(z - 3) = 0
\]
Спрощуємо:
\[
10x + 10y - 12z = 74
\]
Рівняння площини \(BCD\):
\[
10x + 10y - 12z = 74
\]

### 3. Кут між прямою і площиною

Формула для кута між прямою і площиною визначається як:
\[
\sin \theta = \frac{| \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{d} |}{|\overrightarrow{n}| |\overrightarrow{d}|}
\]
де \( \overrightarrow{d} \) — напрямний вектор прямої, а \( \overrightarrow{n} \) — нормальний вектор площини.

- \( \overrightarrow{d} = (2, 3, -1) \)
- \( \overrightarrow{n} = (10, 10, -12) \)

Скалярний добуток \( \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{d} \):
\[
\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{d} = 10 \cdot 2 + 10 \cdot 3 + (-12) \cdot (-1) = 20 + 30 + 12 = 62
\]

Знайдемо довжини векторів:
\[
|\overrightarrow{d}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}
\]
\[
|\overrightarrow{n}| = \sqrt{10^2 + 10^2 + (-12)^2} = \sqrt{100 + 100 + 144} = \sqrt{344}
\]

Тепер знайдемо кут:
\[
\sin \theta = \frac{|62|}{\sqrt{344} \cdot \sqrt{14}} = \frac{62}{\sqrt{4816}} \approx 0.892
\]
\[
\theta = \arcsin(0.892) \approx 63.08^\circ
\]

### Відповідь:
1. Рівняння площини \(BCD\): \( 10x + 10y - 12z = 74 \)
2. Рівняння прямої \(AB\): \( \frac{x - 3}{2} = \frac{y - 5}{3} = \frac{z - 4}{-1} \)
3. Кут між прямою і площиною: \( \theta \approx 63.08^\circ \)

Чи бажаєте більше деталей щодо рішення?  
Ось 5 додаткових запитань для роздумів:
1. Як визначити, чи пряма лежить у площині?
2. Як знайти кут між двома площинами?
3. Як знайти рівняння площини, що проходить через три точки?
4. Як можна визначити кут між двома прямими?
5. Як знайти площу трикутника, заданого трьома точками в просторі?

**Порада**: Векторний добуток є ефективним способом знайти нормальний вектор площини з двох векторів, що лежать у цій площині.

A(3;5;4), B(5;8;3), C(1;2;-2), D(-1;0;-2) координати Знайти кут між площиной BCD та прямою AB рівняння BCD в лінійному вигляді. прямої AB та ф кута.

Find the angle between line AB and the plane BCD using vector cross products and dot products. Learn how to derive the equation of the plane BCD and the line AB. This solution uses advanced vector geometry concepts suitable for high school or university-level students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation