D'accord ! Je vais répondre aux différentes parties de cet exercice directement avec les résultats pour chaque question mentionnée dans l'image. Je vais donner les réponses numérotées conformément à l'ordre dans l'exercice.

I. Fonction $g(x) = x^2 + 2 \ln(x)$:

1. Montrer que $g'(x) = \frac{2x^2 + 1}{x}$:

   Réponse : $g'(x) = \frac{2x^2 + 1}{x}$ (cela découle directement du calcul de la dérivée de $g(x)$).

2. Étudier le signe de $g'(x)$ sur $]0;+\infty[$, puis donner le tableau de variations de $g$:

   Réponse :

   • $g'(x) > 0$ sur $]0;+\infty[$, donc $g(x)$ est strictement croissante sur tout son domaine.
   • Tableau de variations :
     • $x \in ]0;+\infty[$, $g(x)$ croît strictement.

3. Indiquer que $g(x) > 0$ pour tout $x \in ]0;+\infty[$:

   Réponse : Oui, $g(x) > 0$ pour tout $x \in ]0;+\infty[$, car les termes $x^2$ et $2 \ln(x)$ assurent que $g(x)$ est toujours strictement positive.

II. Fonction $f(x) = \frac{x + \ln(x)}{x}$:

1. (a) Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$, puis montrer que la droite $\Delta : y = 1$ est une asymptote de $f(x)$:

   Réponse :

   • $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1$.
   • La droite $\Delta : y = 1$ est une asymptote horizontale de $f(x)$.

2. (a) Montrer que $f'(x) = \frac{\ln(x)}{x^2}$:

   Réponse : $f'(x) = \frac{\ln(x)}{x^2}$.

   (b) Montrer que $f(x)$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$, et dresser son tableau de variations :

   Réponse :

   • $f'(x) > 0$ pour $x > 0$, donc $f(x)$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
   • Tableau de variations :
     • $x \in ]0;+\infty[$, $f(x)$ croît strictement.

3. Écrire l'équation de la tangente $(T)$ à $C$ au point $A(1,0)$:

   Réponse : L’équation de la tangente $(T)$ au point $A(1,0)$ est $y = x - 1$.

4. Construire les deux droites $\Delta$, $(T)$, et la courbe $(C)$:

   Réponse : Courbe et droites à tracer manuellement.
   Indication : La courbe $(C)$ admet un unique point d'inflexion.

5. En utilisant la courbe $(C)$, résoudre l’inéquation $f(x) < e$:

   Réponse : $f(x) < e$ sur l’intervalle $x \in ]0;x_0[$, où $x_0$ est la solution obtenue graphiquement ou numériquement.

Si vous avez besoin de détails supplémentaires ou d'une clarification sur une partie de l'exercice, n'hésitez pas !

Questions pour approfondir :

1. Quels sont les avantages de connaître les asymptotes d'une fonction dans son étude graphique ?
2. Comment interpréter le signe de la dérivée dans le comportement croissant ou décroissant d'une fonction ?
3. Pourquoi est-il important de vérifier si une fonction reste strictement positive sur son domaine ?
4. Quel rôle joue la tangente au point $A$ dans l’analyse locale d’une courbe ?
5. Quels outils graphiques ou numériques peuvent aider à résoudre l’inéquation $f(x) < e$ ?

Conseil :

Toujours dresser le tableau de variations d’une fonction pour simplifier l’étude de son comportement. Cela aide à visualiser les zones de croissance, décroissance, et les extrema.