Soit le produit definit par n=0∏100 Un-×sin(2πt​÷Tn). Tel que Un = 5+6n et Tn= 30+36n. quel sont les signaux ou a leurs premiers periode il ya aucun autres signal qui s annule. Par exemple, pour n=5 on a U35=35 et de periode T5=210 on trouve a sa premiere periode que U0 qui vaut a 5 s annule a la premiere peride de U35 par consequent U6 qui vaut a 11 avec une periode T1=66 on trouverez aucun autres signal qui s annule avec U1.

Pour résoudre ce problème, nous allons examiner le produit défini par:

\[
P(t) = \prod_{n=0}^{100} \left(U_n \times \sin\left(\frac{2\pi t}{T_n}\right)\right)
\]

où les suites \( U_n \) et \( T_n \) sont définies comme suit :
- \( U_n = 5 + 6n \)
- \( T_n = 30 + 36n \)

### Objectif
Nous cherchons à identifier les indices \( n \) pour lesquels, à la première période de \( T_n \), aucun autre signal \( U_m \times \sin\left(\frac{2\pi t}{T_m}\right) \) ne s'annule. En d'autres termes, nous voulons savoir quand le produit \( P(t) \) ne s'annule pas à la première période de \( T_n \).

### Étapes pour résoudre

1. **Identification des périodes** : Calculer \( T_n \) pour chaque \( n \) entre 0 et 100.
2. **Identifications des annulations** : Identifier les moments où \( \sin\left(\frac{2\pi t}{T_n}\right) = 0 \). Cela se produit lorsque \( t = k \cdot \frac{T_n}{2} \) avec \( k \) un entier.
3. **Comparaison des périodes** : Pour chaque \( n \), comparer \( t \) avec les autres périodes \( T_m \) (avec \( m \neq n \)) et vérifier si un autre signal s'annule à ce moment.

### Exemple détaillé : \( n = 5 \)

Pour \( n = 5 \) :
- \( U_5 = 5 + 6 \times 5 = 35 \)
- \( T_5 = 30 + 36 \times 5 = 210 \)

À la première période, \( t = 210 \), on a \( \sin\left(\frac{2\pi \times 210}{210}\right) = 0 \), donc le signal s'annule.

Maintenant, considérons un autre \( n \), disons \( n = 0 \) :
- \( U_0 = 5 + 6 \times 0 = 5 \)
- \( T_0 = 30 + 36 \times 0 = 30 \)

À \( t = 30 \times k \) (où \( k \) est un entier), le signal \( \sin\left(\frac{2\pi t}{30}\right) \) s'annule. On cherche à savoir si un signal avec \( T_n = 210 \) s'annule aussi pour un \( t \) multiple de \( 210 \).

### Conclusion pour l'exemple \( n = 6 \) :

- Pour \( n = 6 \) :
  - \( U_6 = 41 \)
  - \( T_6 = 246 \)

Pour la première période \( T_6 \), soit \( t = 246 \), vérifier s'il y a d'autres \( m \) pour lesquels \( t = 246k/2 \) est un zéro de leur signal.

### Généralisation

Pour chaque \( n \), vérifier si la période \( T_n \) ne correspond à aucune autre période \( T_m \) de façon à ce que le signal s'annule à la même valeur de \( t \) dans la première période. Si c'est le cas, alors \( U_n \) est un signal unique qui ne s'annule pas avec les autres dans sa première période.

### Questions supplémentaires

1. Existe-t-il une méthode pour déterminer systématiquement les signaux qui ne s'annulent pas à leur première période ?
2. Comment identifier des paires \( (n, m) \) pour lesquelles les périodes \( T_n \) et \( T_m \) sont commensurables ?
3. Quels sont les autres exemples où un signal \( U_n \) ne s'annule pas dans sa première période avec un autre signal ?
4. Comment modifie-t-on l'approche si \( T_n \) et \( T_m \) ne sont pas directement comparables ?
5. Peut-on développer une formule générale pour déterminer les indices \( n \) sans annulation ?

**Astuce** : Lorsque les périodes des signaux sont des multiples entiers les uns des autres, il est plus probable qu'ils partagent des zéros communs. Pour éviter cela, il faut choisir des périodes \( T_n \) non commensurables.

Explore the mathematical problem involving the product defined by sequences and trigonometric functions. Understand how to identify signals that do not cancel out during their first period. Detailed solution and examples provided.

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