Math Problem Statement

На плоскости фиксирована правая декартова система координат (O,ı⃗ ,ȷ⃗ ).

Найдите острый угол между двумя прямыми L1:{xy==0−3⋅t−4+4⋅t,t∈R и L2:x−3−4=y−4−1.

Ответ введите в градусах.

Solution

Для нахождения острого угла между двумя прямыми в декартовой системе координат нужно воспользоваться векторным методом.

Шаг 1: Преобразуем уравнения прямых в параметрические формы.

Прямая L1L_1: Уравнение прямой L1L_1 задано параметрически как: x=3+4t,y=4+3t,tRx = -3 + 4t, \quad y = -4 + 3t, \quad t \in \mathbb{R} Мы видим, что прямую можно записать через вектор: r1(t)=(3,4)+t(4,3)\vec{r_1}(t) = (-3, -4) + t(4, 3).

Таким образом, направление прямой L1L_1 задается вектором d1=(4,3)\vec{d_1} = (4, 3).

Прямая L2L_2: Уравнение прямой L2L_2 задано как: x3=y4xy=1x - 3 = y - 4 \quad \Rightarrow \quad x - y = -1 Перепишем это уравнение в виде углового коэффициента: y=x+1y = x + 1 Таким образом, вектор направления этой прямой d2=(1,1)\vec{d_2} = (1, 1).

Шаг 2: Находим угол между векторами направления двух прямых.

Острый угол θ\theta между двумя векторами d1=(4,3)\vec{d_1} = (4, 3) и d2=(1,1)\vec{d_2} = (1, 1) можно найти по формуле для угла между векторами: cosθ=d1d2d1d2\cos \theta = \frac{\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}}{|\vec{d_1}| |\vec{d_2}|} где d1d2\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} — скалярное произведение векторов, d1|\vec{d_1}| и d2|\vec{d_2}| — их длины.

Сначала находим скалярное произведение: d1d2=41+31=4+3=7\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = 4 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 4 + 3 = 7

Теперь находим длины векторов: d1=42+32=16+9=25=5|\vec{d_1}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 d2=12+12=1+1=2|\vec{d_2}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}

Подставляем в формулу для cosθ\cos \theta: cosθ=752=752\cos \theta = \frac{7}{5 \cdot \sqrt{2}} = \frac{7}{5\sqrt{2}}

Вычислим значение: cosθ=75×1.41477.070.9899\cos \theta = \frac{7}{5 \times 1.414} \approx \frac{7}{7.07} \approx 0.9899

Теперь находим угол θ\theta: θ=cos1(0.9899)8.1\theta = \cos^{-1}(0.9899) \approx 8.1^\circ

Ответ:

Острый угол между прямыми L1L_1 и L2L_2 равен примерно 8.1 градуса.

Хотите уточнить что-то или продолжить с другими вопросами?

Дополнительные вопросы:

  1. Как находить угол между прямыми в трёхмерном пространстве?
  2. Что такое скалярное произведение и как его использовать для вычисления угла между векторами?
  3. Как преобразовать уравнение прямой в параметрическую форму?
  4. Как проверить, является ли угол острым, тупым или прямым на основе косинуса угла?
  5. Как использовать векторы для нахождения расстояния от точки до прямой?

Совет: Чтобы быстрее справляться с нахождением углов между прямыми, лучше запомнить формулы для скалярного произведения и длины вектора, ведь они часто встречаются в задачах геометрии и векторного анализа.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Analytical Geometry
Vectors
Angle Between Lines

Formulas

cos(θ) = (d1 · d2) / (|d1| * |d2|)
d1 · d2 = x1 * x2 + y1 * y2

Theorems

Formula for the angle between two vectors

Suitable Grade Level

Grades 11-12