برای حل نابرابری $\left\vert x + \left\vert x + 1 \right\vert \right\vert < 7$، ابتدا باید حالت‌های مختلف داخل قدر مطلق‌ها را بررسی کنیم.

مرحله اول: تحلیل $\left\vert x + 1 \right\vert$

قدر مطلق $\left\vert x + 1 \right\vert$ به دو حالت تقسیم می‌شود:

1. اگر $x + 1 \geq 0$، یعنی $x \geq -1$، آنگاه $\left\vert x + 1 \right\vert = x + 1$.
2. اگر $x + 1 < 0$، یعنی $x < -1$، آنگاه $\left\vert x + 1 \right\vert = -(x + 1) = -x - 1$.

مرحله دوم: تحلیل $\left\vert x + \left\vert x + 1 \right\vert \right\vert$

حالا باید در نظر بگیریم که مقدار $x + \left\vert x + 1 \right\vert$ چه خواهد بود. برای این منظور، دوباره دو حالت بررسی می‌کنیم:

حالت اول: $x \geq -1$

در این حالت، $\left\vert x + 1 \right\vert = x + 1$ و بنابراین: $x + \left\vert x + 1 \right\vert = x + (x + 1) = 2x + 1$ حالا، قدر مطلق $\left\vert 2x + 1 \right\vert$ را بررسی می‌کنیم:

• اگر $2x + 1 \geq 0$، یعنی $x \geq -\frac{1}{2}$، آنگاه $\left\vert 2x + 1 \right\vert = 2x + 1$.
• اگر $2x + 1 < 0$، یعنی $x < -\frac{1}{2}$، آنگاه $\left\vert 2x + 1 \right\vert = -(2x + 1) = -2x - 1$.

حالت دوم: $x < -1$

در این حالت، $\left\vert x + 1 \right\vert = -x - 1$ و بنابراین: $x + \left\vert x + 1 \right\vert = x + (-x - 1) = -1$ بنابراین، قدر مطلق $\left\vert -1 \right\vert = 1$.

مرحله سوم: حل نابرابری

حالا که حالات مختلف را بررسی کردیم، نابرابری $\left\vert x + \left\vert x + 1 \right\vert \right\vert < 7$ را در هر حالت حل می‌کنیم.

حالت اول: $x \geq -1$

در این حالت:

1. اگر $x \geq -\frac{1}{2}$، نابرابری $\left\vert 2x + 1 \right\vert < 7$ است. این نابرابری به دو قسمت تقسیم می‌شود:

   • $2x + 1 < 7 \Rightarrow 2x < 6 \Rightarrow x < 3$
   • $2x + 1 > -7 \Rightarrow 2x > -8 \Rightarrow x > -4$ پس، بازه حل برای این بخش $-4 < x < 3$ است.

2. اگر $x < -\frac{1}{2}$، نابرابری $\left\vert -2x - 1 \right\vert < 7$ است. این نابرابری به دو قسمت تقسیم می‌شود:

   • $-2x - 1 < 7 \Rightarrow -2x < 8 \Rightarrow x > -4$
   • $-2x - 1 > -7 \Rightarrow -2x > -6 \Rightarrow x < 3$ پس، بازه حل برای این بخش $-4 < x < 3$ است.

حالت دوم: $x < -1$

در این حالت، $\left\vert x + \left\vert x + 1 \right\vert \right\vert = 1 < 7$ همیشه درست است. پس، تمام مقادیر $x < -1$ را شامل می‌شود.

نتیجه‌گیری

بازه کلی که نابرابری $\left\vert x + \left\vert x + 1 \right\vert \right\vert < 7$ را ارضا می‌کند، عبارت است از: $-4 < x < 3$

سوالات مرتبط:

1. چه تاثیری روی بازه حل خواهد گذاشت اگر نابرابری به $\left\vert x + \left\vert x + 1 \right\vert \right\vert \geq 7$ تغییر کند؟
2. چگونه می‌توان نابرابری‌های مشابه با چندین قدر مطلق را حل کرد؟
3. چه تفاوتی بین نابرابری‌های قدر مطلقی و معادلات قدر مطلقی وجود دارد؟
4. چگونه می‌توان از نابرابری‌های قدر مطلقی در مسائل هندسی استفاده کرد؟
5. چه تغییراتی در حل نابرابری‌های قدر مطلقی وقتی مقدار سمت راست نابرابری عدد منفی باشد، ایجاد می‌شود؟

نکته: هنگام حل نابرابری‌های قدر مطلقی، باید دقت کنید که هر حالت ممکن را بررسی کنید تا تمام جواب‌ها را بدست آورید.