Для решения этой задачи нужно понять, сколько способов существует для заполнения прямоугольника размера $4 \times n$ доминошками $1 \times 4$. Это задача, связанная с комбинаторикой и рекуррентными соотношениями.

Анализ задачи:

1. Формулировка проблемы: Мы хотим найти количество способов $a_n$, которыми прямоугольник $4 \times n$ можно полностью заполнить прямоугольниками $1 \times 4$.

2. Основной принцип:

   • Каждая плитка $1 \times 4$ занимает 4 ячейки. Это значит, что $n$ должно быть кратно 4. Если $n$ не делится на 4, $a_n = 0$.
   • Если $n$ делится на 4 ($n = 4k$), мы можем использовать динамическое программирование для вычисления числа способов $a_n$.

3. Рекуррентное соотношение:

   • Для $n$, кратного 4 ($n = 4k$), общее число способов $a_{4k}$ определяется тем, что последний столбец $4 \times 4$ может быть заполнен разными способами, что зависит от способов заполнения предыдущих столбцов.
   • При этом:
     • $a_4 = 1$, так как прямоугольник $4 \times 4$ можно заполнить только одним способом.

4. Рекурсия: Для больших $n$ ($n > 4$), формула зависит от предыдущих значений. Например, $a_n$ может быть выражено через линейную рекуррентность с коэффициентами.

5. Рассмотрим числа $n$, которые входят в последовательность $a_n$: Если мы запишем числа $a_n$ для нескольких значений $n$, кратных 4, мы сможем найти закономерность, которая укажет, какие числа входят в последовательность.

Для вычислений уточните, нужно ли найти конкретные числа или общий алгоритм проверки. Вы хотите более развернутый анализ или примеры?

Вопросы для размышления:

1. Какие граничные условия нужны для задачи (например, начальное значение $n$)?
2. Хотите ли вы рассчитать последовательность для конкретного набора значений $n$?
3. Нужно ли учитывать ограничения на размеры $n$ для вашей задачи?
4. Хотите ли вы разобрать более сложные случаи разбиения прямоугольников на $1 \times m$?
5. Интересуют ли вас общие свойства последовательности $a_n$?

Совет: Используйте визуализацию при построении небольших значений $n$ для лучшего понимания разбиений